Question

如图，△ABC中，AB=AC=4

5

，cosC=

5

5

．
（1）动手操作：利用尺规作以AC为直径的⊙O，并标出⊙O与AB的交点D，与BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）综合应用：在你所作的图中，
①求证：

DE

=

CE

；
②求点D到BC的距离．

Answer 1

考点：作图—复杂作图,勾股定理的应用,相似三角形的应用

专题：作图题,证明题

分析：（1）先作出AC的中垂线，再画圆．
（2）边接AE，AE是BC的中垂线，∠DAE=∠CAE，得出

DE

=

CE

；
（3）利用△BDE∽△BCA求出BD，再利用余弦求出BM，用勾股定理求出DM．

解答：解：（1）如图


（2）如图，连接AE，

∵AC为直径，
∴∠AEC=90°，
∵AB=AC，
∴∠DAE=∠CAE，
∴

DE

=

CE

；

（3）如图，连接AE，DE，作DM⊥BC交BC于点M，

∵AC为直径，
∴∠AEC=90°，
∵AB=AC=4

5

，cosC=

5

5

．
∴EC=BE=4，
∴BC=8，
∵点A、D、E、C共圆
∴∠ADE+∠C=180°，
又∵∠ADE+∠BDE=180°，
∴∠BDE=∠C，
∴△BDE∽△BCA，
∴

BD

BC

=

BE

AB

，即BD•BA=BE•BC
∴BD×4

5

=4×8
∴BD=

8 5

5

，
∵∠B=∠C
∴cos∠C=cos∠B=

5

5

，
∴

BM

8 5 5

=

5

5

，
∴BM=

8

5

，
∴DM=

BD2-BM2

=

( 8 5 5 )2-( 8 5 )2

=

16

5

．

点评：本题主要考查了复杂的作图，相似三角形以及勾股定理的应用，解题的关键是运用△BDE∽△BCA求出线段的长．