Question

已知直线y=x与函数y=

k

x

（x＞0，k＞0）的图象交于点A，以坐标原点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，直线AB交x轴负半轴于B点，∠ABC=30°．
（1）画出满足题意的示意图；
（2）请用含π的代数式表示

S

T

的值；（其中，S为△AOB面积，T为扇形AOC面积）
（3）设k取k₁时，△AOB面积为S₁，扇形AOC面积为T₁，k取k₂时，△AOB面积为S₂，扇形AOC面积为T₂…求

S1

T1

-

S2

T2

+

S3

T3

-

S4

T4

+…-

S2008

T2008

+

S2009

T2009

的值．

Answer 1

分析：（1）首先确定点C的位置，再进一步画出30度的角确定点B的位置；
（2）首先根据直线和双曲线的解析式可以求得交点A的坐标，作AD⊥x轴于D，则得到等腰直角三角形AOD．根据勾股定理求得OA的长，即可表示出扇形的面积；要求OB的长，根据30度的直角三角形的性质求得BD的长，从而求得OB的长，即可表示出三角形的面积．最后求得比值；
（3）根据（2）的结论，不难看到它们之间的面积比是一个定值，利用抵消的方法即可求解．

解答：解：（1）画图正确（3分）


（2）由题意可得A点坐标为（

k

，

k

）过A作AD⊥x轴于D，（1分）
BO=

3k

-

k

，AD=

k

，OA=

2k

（1分）
∴△AOB的面积S=

( 3 -1)

3

k（1分）
扇形AOC面积T=

π

4

k（1分）

S

T

=

( 3 -1) 3 k

π 4 k

=

2( 3 -1)

π

因此无论k值如何变化，

S

T

的值都不变，

S

T

=

( 3 -1) 3 k

π 4 k

=

2( 3 -1)

π

；（3分）

（3）

S1

T1

-

S2

T2

+

S3

T3

-

S4

T4

+-

S2008

T2008

+

S2009

T2009

=

S2009

T2009

=

2( 3 -1)

π

．

点评：注意：直线y=x即是第一、三象限的角平分线，可以出现等腰直角三角形．掌握等腰直角三角形和30度的直角三角形的性质，熟悉三角形和扇形的面积公式．