Question

【题目】如图，∠BAC＝30°，点 D 为∠BAC内一点，点 E，F 分别是AB，AC上的动点．若AD＝9，则△DEF周长的最小值为____．

Answer 1

【答案】9；

【解析】

由对称的性质可得：DE=EM，DF=FN，AM=AD=AN=9，∠MAE=∠DAE，∠NAF=∠DAF，然后根据两点之间线段最短可得此时MN即为△DEF的周长的最小值，然后根据等边三角形的判定定理及定义即可求出结论．

解：过点D分别作AB、AC的对称点M、N，连接MN分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF、AD、AM和AN

由对称的性质可得：DE=EM，DF=FN，AM=AD=AN=9，∠MAE=∠DAE，∠NAF=∠DAF

∴△DEF的周长=DE＋EF＋DF= EM＋EF＋FN=MN，∠MAE＋∠NAF=∠DAE＋∠DAF=∠BAC=30°

∴根据两点之间线段最短，此时MN即为△DEF的周长的最小值，∠MAN=∠MAE＋∠NAF＋∠BAC=60°

∴△MAN为等边三角形

∴MN=AM=AN=9

即△DEF周长的最小值为9

故答案为：9．