Question

15．问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE
（1）填空：①∠AEB的度数为60°；②线段BE、AD之间的数量关系是AD=BE．
（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件可以判定：△ACD≌△BCE，可得AD=BE，再由角度关系求得∠AEB=60°；
（2）同（1）可证：△ACD≌△BCE，得到AD=BE，∠AEB=90°，再由CM⊥DE，可得CM=$\frac{1}{2}$DE，进而可求得线段CM、AE、BE之间的数量关系为：AE=BE+2CM．

解答 解：（1）∵△ACB与△DCE都为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∠CDE=∠CED=60°，
∴∠ADC=180°-∠CDE=60°，
∵∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°
∴∠ACD=∠ECB，
∴在△ACD与△BCE中有
         $\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$ 
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠BEC=∠ADC=120°，AD=BE，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°，
 故答案为：60°，AD=BE；

（2）①∵△ACB与△DCE都为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°，
∴∠ADC=180°-∠CDE=135°，
∵∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=90°
∴∠ACD=∠ECB，
∴在△ACD与△BCE中有
         $\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$ 
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠BEC=∠ADC=135°，AD=BE，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，
 故∠AEB的度数为90°；
 ②∵CM⊥DE，△CDE为等腰直角三角形，
∴DM=DE（三线合一）
∴CM=$\frac{1}{2}$DE，
∴AE=AD+DE=BE+2CM，
即：线段CM、AE、BE之间的数量关系为：AE=BE+2CM．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质；证明三角形全等是解决问题的关键．