Question

【题目】如图，已知直线y=﹣x+b（b＞0）与其垂线y=x交于H，与双曲线c：y=（k＞0）在第一象限交于A，B，与两坐标轴交于C，D．

（1）当A的坐标为（2，1）时，求k的值和OH的长；

（2）若CH2﹣HA2=4，求双曲线c的方程.

Answer 1

【答案】（1）OH=；（2）设双曲线c的方程为y=．

【解析】分析：（1）将A（2，1）代入y=，可得k=2，过A作AM⊥x轴于M，则AM=MC=1，OM=2，可得OC=OM+MC=3，依据∠HOC=45°，即可得到OH=OC=；

（2）设点A的坐标为（x，y）且x＞y，则OC=OM+MC=x+y，OH=HC=OC=（x+y），进而得出HA=HC﹣AC=（x﹣y），根据CH2﹣HA2=[（x+y）]2﹣[（x﹣y）]2=2xy=2k=4，即可得到k的值．

详解：（1）将A（2，1）代入y=，可得：k=2×1=2，

过A作AM⊥x轴于M，则AM=MC=1，OM=2，∴OC=OM+MC=3．

∵∠HOC=45°，∴OH=OC=；

（2）设点A的坐标为（x，y）且x＞y，则OC=OM+MC=x+y，OH=HC=OC=（x+y）．

又∵AC=AM=y，∴HA=HC﹣AC=（x﹣y）．

∵CH2﹣HA2=[（x+y）]2﹣[（x﹣y）]2=2xy=2k=4，∴k=2，

∴双曲线c的方程为y=．