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【题目】平面直角坐标系xOy中,对于任意的三个点ABC,给出如下定义:若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行,且ABC三点都在矩形的内部或边界上,则称该矩形为点ABC的“三点矩形”.在点ABC的所有“三点矩形”中,若存在面积最小的矩形,则称该矩形为点ABC的“最佳三点矩形”.

如图1,矩形DEFG,矩形IJCH都是点ABC的“三点矩形”,矩形IJCH是点ABC的“最佳三点矩形”.

如图2,已知M41),N(﹣23),点Pmn).

1m1n4,则点MNP的“最佳三点矩形”的周长为   ,面积为   

m1,点MNP的“最佳三点矩形”的面积为24,求n的值;

2)若点P在直线y=﹣2x+4上.

求点MNP的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围;

当点MNP的“最佳三点矩形”为正方形时,求点P的坐标;

3)若点Pmn)在抛物线yax2+bx+c上,且当点MNP的“最佳三点矩形”面积为12时,﹣2m≤﹣11m3,直接写出抛物线的解析式.

【答案】1)①18,18;②5;(2)①最小值为12;②点的坐标为;(3,或.

【解析】

1)①根据题意,易得MNP最佳三点矩形的周长和面积②先求出的值,再根据m=1以及MNP最佳三点矩形的面积是24,可分析出此矩形的邻边长分别为64进而求出n的值

2)①结合图形,易得MNP最佳三点矩形的面积的最小值,分别将对应的值代入y=-2x+4即可求出m的取值范围②当MNP最佳三点矩形为正方形时,易得边长为6,将对应的值代入y=-2x+4即可求出P点坐标

3)根据题意画出图像,易得抛物线的解析式

解:(1)①如图,过P做直线AB平行于x轴,过N做直线AC平行于y轴,过M做MB平行于y轴,分别交于点A-2,4)、C-2,1)、B4,1

AC=BM=3AB=CM=6故周长=3+6=18,面积=3=18

MNP最佳三点矩形的周长和面积分别为18,18

M4,1),N-2,3)∴

又∵m=1,点MNP最佳三点矩形的面积为24

∴此矩形的邻边长分别为64

n=-15

2)如图1

易得点MNP最佳三点矩形的面积的最小值为12

分别将y=3y=1代入y=-2x+4,可得x分别为

结合图象可知:

②当MNP最佳三点矩形为正方形,边长为6

分别将y=7y=-3代入y=-2x+4 ,可得分别为

P的坐标为( 7)或( -3

3)如图2y=+y=+

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例如,点P(x y1)Q (x y2)分别是两个函数y = 3x+1y = 2x - 1图象上的任一点,当-3 ≤ x ≤ -1时,y1 - y2 = (3x + 1) - (2x - 1) = x + 2,通过构造函数y = x + 2,并研究它在-3 ≤ x ≤ -1上的性质,得到该函数值的范围是-1 ≤ y ≤ 1,所以-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立,因此这两个函数在-3 ≤ x ≤ -1上是“相邻函数”.

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