Question

小华利用院子里两面夹角为135°足够长的墙作为边，修建一个形状为直角梯形的花园ABCD（如图所示），已知AD∥BC，∠B=90°，设AB=x，且AB＜BC，其余两边用10米长的建筑材料修建，恰好用完．
（1）求梯形ABCD面积S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）先过点D作DE⊥BC于E，则四边形ADBE为矩形，得出DE=AB=x，再证明△DEC是等腰直角三角形，得出EC=10-x，BC=10-2x，然后根据梯形的面积公式即可求出S与x之间的函数关系式；根据AB＞0，AD＞0，即可求出自变量x的取值范围；
（2）由（1）可知S是x的二次函数，根据二次函数的性质直接求解．

解答：解：（1）过点D作DE⊥BC于E，则四边形ADBE为矩形，DE=AB=x，∠ADE=∠DEB=90°，
则∠CDE=∠ADC-∠ADE=45°，
在直角△CDE中，
又∵∠DEC=90°，
∴∠C=45°，
∴CE=DE=x，
∵BC=10-AB=10-x，
∴BE=BC-CE=10-2x，
∴AD=BE=10-2x，
∴梯形ABCD面积S=

1

2

（AD+BC）•AB=

1

2

（10-2x+10-x）•x=-

3

2

x²+10x，
∵

x＞0 10-2x＞0

，
∴0＜x＜5．
故梯形ABCD面积S与x之间的函数关系式为S=-

3

2

x²+10x（0＜x＜5）；

（2）∵S=-

3

2

x²+10x（0＜x＜5），-

3

2

＜0，
∴S有最大值，
∴当x=-

b

2a

=

10

3

时，S_最大=

4ac-b2

4a

=

0-102

4×(- 3 2 )

=

50

3

．
故当x为

10

3

时，S有最大值

50

3

．

点评：本题考查了直角梯形的性质及二次函数在实际生活中的应用，解题的关键是找到两个变量S与x之间的函数关系．