Question

已知：如图，AB是⊙O的切线，切点为A，OB交⊙O于C，过C点的弦CD使∠ACD=30°，

AD

的长为

10

3

π，∠B=16°，求弦AD、AC的长．
（sin37°=

3

5

，cos37°=

4

5

，tan37°=

3

4

，sin53°=

4

5

，cos53°=

3

5

，tan53°=

4

3

）

Answer 1

分析：连接OA，OD，根据弧AD的长可求得圆的半径，利用解直角三角形求得AD，AC的长．

解答：解：连接OA，OD，
∵∠DCA=30°，
∴∠AOD=60°，
∴

AD

的长为：

60πOA

180

=

10π

3

，
∴OA=OD=AD=10，
∵AB为⊙O切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∵∠B=16°，
∴∠BOA=74°，
∴∠OCA=∠OAB=53°
过点O作OE⊥AC于E，
在Rt△CEO中，OC=10，cos53°=

3

5

，
∴

CE

OC

=

3

5

，
∴CE=6，
∴AC=12．

点评：本题考查了圆周角定理、圆的切线性质定理以及解直角三角形．解本题的关键是利用弧长公式求得圆的半径，然后利用解直角三角形再求线段的长．