【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx-3 (m≠0)与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B,顶点为C点.
(1)求点A和点B的坐标;
(2)若∠ACB=45°,求此抛物线的表达式.
【答案】(1)点A的坐标为(0,-3);点B的坐标为(1,0).(2)y=x2-2x-3.
【解析】
(1)令抛物线解析式中即可求出点A的坐标,找到抛物线的对称轴即可求出点B的坐标;
(2)根据∠ACB=45°可求出点C的坐标,将点C的坐标代入抛物线的解析式中即可得出答案.
解:(1)∵抛物线y=mx2-2mx-3 (m≠0)与y轴交于点A,
∴点A的坐标为(0,-3);
∵抛物线y=mx2-2mx-3 (m≠0)的对称轴为直线x=1,
∴点B的坐标为(1,0).
(2)∵∠ACB=45°,
∴点C的坐标为(1,-4),
把点C代入抛物线y=mx2-2mx-3
得出m=1,
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点E是边AD上的一个动点,把△BAE沿BE折叠,点A落在A′处,如果A′恰在矩形的对角线上,则AE的长为_____.
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【题目】某厂按用户需求生产一种产品,成本每件20万元,规定每件售价不低于成本,且不高于40万元。经市场调查,每年的销售量y(件)与每件售价x(万元)满足一次函数关系,部分数据如下表:
售价x(万元/件) | 25 | 30 | 35 |
销售量y(件) | 50 | 40 | 30 |
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)设商品每年的总利润为W(万元),求W与x之间的函数表达式(利润=收入-成本);
(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少万元时获得最大利润,最大利润是多少?
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【题目】如图,以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点,交直角边AC于点E;B、E是半圆弧的三等分点,的长为,则图中阴影部分的面积为( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点,与反比例函数y=的图象在第一象限的交点为C,CD⊥x轴于D,若OB=3,OD=6,△AOB的面积为3.
(1)求一次函数与反比例函数的表达式;
(2)当x>0时,比较kx+b与的大小.
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【题目】某超市促销活动,将A,B,C三种水果采用甲、乙、丙三种方式搭配装进礼盒进行销售.每盒的总成本为盒中A,B,C三种水果成本之和,盒子成本忽略不计.甲种方式每盒分别装A,B,C三种水果6kg,3kg,1kg;乙种方式每盒分别装A,B,C三种水果2kg,6kg,2kg.甲每盒的总成本是每千克A水果成本的12.5倍,每盒甲的销售利润率为20%;每盒甲比每盒乙的售价低25%;每盒丙在成本上提高40%标价后打八折出售,获利为每千克A水果成本的1.2倍.当销售甲、乙、丙三种方式搭配的礼盒数量之比为2:2:5时,则销售总利润率为_____.(利润率=利润÷成本×100%)
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,直线AC:y=﹣3x+3与直线AB:y=ax+b交于点A,且B(﹣9,0).
(1)若F是第二象限位于直线AB上方的一点,过F作FE⊥AB于E,过F作FD∥y轴交直线AB于D,D为AB中点,其中△DFF的周长是12+4,若M为线段AC上一动点,连接EM,求EM+MC的最小值,此时y轴上有一个动点G,当|BG﹣MG|最大时,求G点坐标;
(2)在(1)的情况下,将△AOC绕O点顺时针旋转60°后得到△A′OC',如图2,将线段OA′沿着x轴平移,记平移过程中的线段OA′为O′A″,在平面直角坐标系中是否存在点P,使得以点O′,A″,E,P为顶点的四边形为菱形,若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,⊙O1与x轴相切于点A(﹣3,0),与y轴相交于B、C两点,且BC=8,连接AB.
(1)求证:∠ABO1=∠ABO;
(2)求AB的长;
(3)如图2,⊙O2经过A、B两点,与y轴的正半轴交于点M,与O1B的延长线交于点N,求出BM﹣BN的值.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0<b)的图像与x轴只有一个交点,下列结论:①x<0时,y随x增大而增大;②a+b+c<0;③关于x的方程ax2+bx+c+2=0有两个不相等的实数根.其中所有正确结论的序号是( )
A.①②B.②③C.①③D.①②③
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