Question

16．问题背景：已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），同时，点E由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点，求$\frac{AC}{HF}$的值．
（1）初步尝试
如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且D，E的运动速度相等，小王同学发现可以过点D做DG∥BC，交AC于点G，先证GH=AH．再证GH=CF，从而求得$\frac{AC}{HF}$的值为2．
（2）类比探究
如图2，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D，E的运动速度之比是$\sqrt{3}：1$，求$\frac{AC}{HF}$的值；
（3）延伸拓展
如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记$\frac{BC}{AC}$=m，且点D，E的运动速度相等，试用含m的代数式表示$\frac{AC}{HF}$的值（直接写出结果，不必写解答过程）．

Answer 1

分析 （1）过点D作DG∥BC交AC于点G，由题意知△AGD是等边三角形，所以AD=GD，所以可以证明△GDF≌△CEF，所以CF=GF，由三线合一可知：AH=GH，所以$\frac{AC}{HF}=2$；
（2）过点D作DG∥BC交AC于点G，由点D，E的运动速度之比是$\sqrt{3}：1$可知GD=CE，所以可以证明△GDF≌△CEF，所以CF=GF，由∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°可知：AH=DH，所以$\frac{AC}{HF}=2$；
（3）类似（1）（2）的方法可求出$\frac{AH}{AG}=m$和$\frac{GF}{CF}$=m，然后利用GH+FG=m（AH+FC）=m（AC-HF）即可求出$\frac{AC}{HF}$的比值．

解答 解：（1）过点D作DG∥BC交AC于点G，
∵△ABC是等边三角形，
∴△AGD是等边三角形，
∴AD=GD，
由题意知：CE=AD，
∴CE=GD
∵DG∥BC，
∴∠GDF=∠CEF，
在△GDF与△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GDF=∠CEF}\\{∠GFD=∠EFC}\\{CE=GD}\end{array}\right.$，
∴△GDF≌△CEF（AAS），
∴CF=GF，
∵DH⊥AG，
∴AH=GH，
∴AC=AG+CG=2GH+2GF=2（GH+GF），
HF=GH+GF，
∴$\frac{AC}{HF}$=2；

（2）过点D作DG∥BC交AC于点G，
由题意知：点D，E的运动速度之比是$\sqrt{3}：1$
∴$\frac{AD}{CE}$=$\sqrt{3}$，
∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，
∴$\frac{AD}{GD}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{AD}{CE}=\frac{AD}{GD}$，
∴GD=CE，
∵DG∥BC，
∴∠GDF=∠CEF，
在△GDF与△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GDF=∠CEF}\\{∠GFD=∠EFC}\\{CE=GD}\end{array}\right.$，
∴△GDF≌△CEF（AAS），
∴CF=GF，
∵∠ADH=∠BAC=30°，
∴AH=HD，
∵∠AGD=∠HDG=60°，
∴GH=HD，
∴AH=HG，
∴AC=AG+CG=2GH+2GF=2（GH+GF），
HF=GH+GF，
∴$\frac{AC}{HF}$=2；

（3）过点D作DG∥BC交AC于点G
∵DG∥BC，
∴△AGD∽△ACB，
∴$\frac{GD}{AG}=\frac{BC}{AC}=m$，
∵∠ADH=∠BAC=36°，AC=AB，
∴∠GHD=∠HGD=72°，
∴GD=HD=AH，
∴$\frac{AH}{AG}=\frac{GD}{AG}=m$，
∵AD=CE，
∴$\frac{GD}{AD}=\frac{GD}{AG}$=$\frac{GD}{CE}$=m，
∵DG∥BC，
∴△DGF∽△ECF，
∴$\frac{GD}{CE}=\frac{GF}{CF}$=m，
∴GH+FG=m（AH+FC）=m（AC-HF），
即HF=m（AC-HF），
∴$\frac{AC}{HF}$=$\frac{m+1}{m}$．

点评 本题考查三角形的综合问题，涉及全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质等知识内容，内容比较综合，需要学生灵活运用所学的知识进行解答．