Question

如图，P是抛物线y=2x²上第一象限内的点，A点坐标为（6，0）．
（1）若P的坐标为（x，y），求△POA的面积S=

 

；
（2）指出S是x的什么函数；

 

；
（3）当S=6时，求P点的坐标；

 

；
（4）在抛物线y=2x²上求出一点P′，使P′O=P′A．答：P′的坐标为

 

．

Answer 1

分析：（1）已知A点坐标为（6，0）可以得到OA=6，△POA中OA边上的高就是P点的纵坐标．根据三角形的面积公式就可以求出．
（2）把y=2x²代入（1）中所求的函数解析式，就可以得到S与x之间的函数解析式．判断函数的类型．
（3）把S=6代入（2）中求得的函数解析式，求出x的值，就可以得到P点的坐标．
（4）使P′O=P′A，则P′一定在线段OA的垂直平分线上，OA的垂直平分线的解析式是x=3，因而把x=3代入函数y=2x²的解析式，就可以求出点的纵坐标．

解答：解：（1）过P作PH⊥x轴于H，则S=

1

2

OA•PH=

1

2

×6•y=3y

（2）∵y=2x²，
∴S=3y=6x²，S是x的二次函数．

（3）当S=6时，3y=6，y=2，6x²=6，
∴x=±1，且P在第一象限，
∴P（1，2）．

（4）∵P′O=P′A，则P′在线段OA的中垂线上，
∴P′的横坐标为3，
又当x=3时，y=18，
∴P′（3，18）．

点评：本题是二次函数的解析式的求解，与线段的垂直平分线的判定方法，相结合的问题．