Question

【题目】我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”.

（1）已知：如图，四边形ABCD是“等对角四边形”， ,则∠C= ;

（2）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=4 , AD=3.求对角线AC的长；

（3）已知：如图，在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中,点D在y轴上，抛物线过点A、C,点P在抛物线上，当满足的P点至少有3个时,总有不等式成立，求n 的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）115°；（2）或；（3）

【解析】

（1）根据“等对角四边形”的概念即可求解；

（2）分两种情况：①当∠B=∠D=90°时延长AD,BC交于点E，先用含30°角的直角三角形的性质求出BE， DE，再用三角函数求出CE，即可得到BC，由勾股定理求出AC；②当∠A=∠C=60°时,过D分别作DE⊥AB于E,DF⊥BC于点F，先用含30°角的直角三角形的性质求出DE，CF，得到BC，由勾股定理求出AC；

（3）根据题意求出D（0,2），设抛物线解析式为，，以D（0,2）为圆心，AD长为半径作⊙D，以D’（0，-2）为圆心，AD长为半径作⊙D’，如图所示,⊙D交y轴正半轴于点E,⊙D’交y轴负半轴于点F.当点P在优弧AEC和优弧AFC上时，当抛物线过E点时满足题意的P点有3个，，当满足的P点至少有3个时，依次求解即可.

解：（1）由题意可得：∠B=∠D=85°，则∠C=360°-85°×2-75°=115°；

（2）①如图，∠B=∠D=90°时延长AD,BC交于点E

∵∠DAB=60°

∴∠E=30°

又 ∵AB=4,AD=3

∴

∴

∴

∴

②如图，∠A=∠C=60°时,过D分别作DE⊥AB于E,DF⊥BC于点F

∵∠DAB=∠BCD=60°

又 ∵AB=4,AD=3

∴

∴

∴

∴

综上，

（3）∵

∴

∴

∴∠ABC=90°

∵ ,

∴

∵四边形ABCD是“等对角四边形”

∴

∴D（0,2）

∵抛物线过点A、C,

∴

∴，

以D（0,2）为圆心，AD长为半径作⊙D，以D’（0，-2）为圆心，AD长为半径作⊙D’，如图所示,⊙D交y轴正半轴于点E,⊙D’交y轴负半轴于点F.当点P在优弧AEC和优弧AFC上时，当抛物线过E点时满足题意的P点有3个，

此时，

当满足的P点至少有3个时，

当时，

∵总有不等式成立

∴

∴