Question

【题目】已知∠MON＝90°，等边三角形ABC的一个顶点B是射线ON上的一定点，顶点A于点O重合，顶点C在∠MON内部

(1)当点A在射线OM上移动到A1时，连接A1B，请在∠MON内部作出以A1B为一边的等边三角形A1BC1(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)设A1B与OC交于点Q，BC的延长线与A1C1交于点D．求证：△BCQ∽△BA1D；

(3)连接CC1，试猜想∠BCC1为多少度，并证明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）∠BCC1＝90°，理由详见解析.

【解析】

（1）分别以B、A1为圆心，A1B长为半径画弧，两弧交于一点C1，连接A1C1，BC1即可；
（2）根据条件可以得到∠BCQ=∠BA1D=60°，∠A1BD=∠QBC，即可证出△BCQ∽△BA1D；
（3）首先证明∠ABA1=∠CBC1，再利用SAS定理证出△A1BA≌△C1BC，即可得到∠BCC1=∠BAA1=90°．

（1）如图所示：

（2）∵△ACB和△A1C1B都是等边三角形，

∴∠BCQ＝∠BA1D＝60°，

∵∠A1BD＝∠QBC，

∴△BCQ∽△BA1D；

（3）猜想∠BCC1＝90°，

∵△ACB和△A1C1B都是等边三角形，

∴∠CBA＝∠A1BC1＝60°，A1B＝C1B，AB＝CB，

∴∠ABA1＝∠CBC1，

在△A1BA和△C1BC中： ，

∴△A1BA≌△C1BC（SAS），

∴∠BCC1＝∠BAA1＝90°．