[题目](1)①如图①的内角的平分线与内角的平分线相交于点.请探究与的关系.并说明理由． ②如图②.的内角的平分线与外角的平分线相交于点.请探究与的关系.并说明理由． (2)如图③④.四边形中.设.. 为四边形的内角与外角的平分线所在直线相交而行成的锐角．请利用(1)中的结论完成下列问题: ①如图③.求的度数．(用的代数式表示) ②如图④.将四边形沿着直线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】（1）①如图①的内角的平分线与内角的平分线相交于点，请探究与的关系，并说明理由．

②如图②，的内角的平分线与外角的平分线相交于点，请探究与的关系，并说明理由．

（2）如图③④，四边形中，设，，为四边形的内角与外角的平分线所在直线相交而行成的锐角．请利用（1）中的结论完成下列问题：

①如图③，求的度数．（用的代数式表示）

②如图④，将四边形沿着直线翻折得到四边形，为延长线上一点，连接，与的角平分线交于点，求与的数量关系．

【答案】（1）①∠M=90°+∠A；②2∠P=∠A；

（2）①∠P=(+)-90°；②∠Q=180°-∠P.

【解析】

（1）①先由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据BM，CM分别平分∠ABC和∠ACB求出∠MBC+∠MCB，由三角形内角和定理可求∠M与∠A的关系；

②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠PCD=∠P+∠PBC，∠ACD=∠A+∠ABC，再根据角平分线的性质即可得解；

（2）①延长BA交CD的延长线于F，由（1）的结论和三角形内角和定理可求∠P的度数；

②延长CG交BN于H，由（1）的结论和三角形外角的性质可求∠Q与∠P的数量关系.

解：（1）①∠M=90°+∠A

理由如下：

∵∠A+∠ABC+ =180°

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A

∵BM，CM分别平分∠ABC和∠ACB

∴∠MBC=∠ABC，∠MCB=∠ACB

∴∠MBC+∠MCB=(∠ABC+∠ACB)

∴∠M=180°-(∠MBC+∠MCB)=180°-(180°-∠A)= 90°+∠A

②2∠P=∠A

理由如下：

∵∠PCD=∠P+∠PBC，∠ACD=∠A+∠ABC

又∵P点是与外角的角平分线的交点

∴2∠PCD=∠ACD，2∠PBC=∠ABC

∴2(∠P+∠PBC)= ∠A+∠ABC

∴2∠P+2∠PBC=∠A+∠ABC

∴2∠P+∠ABC=∠A+∠ABC

∴2∠P=∠A

（2）①延长BA交CD的延长线于F

∵∠F=180°-∠FAD-∠FDA=180°-(180°-)-(180°-)=+-180°

由（1）知，∠P=∠F

∴∠P=(+)-90°

②延长CG交BN于H

∵将四边形沿着直线翻折得到四边形

∴∠BFG=∠A=，∠CGF=∠D=

∵∠GHN=∠HFG+∠HGF=180°-+180°-

∴∠GHN=360°- (+)，且∠P=(+)-90°

∴∠GHN=360°-(2∠P+180°)=180°-2∠P

∵∠GCN与∠FNC的角平分线交于点Q

由（1）知，∠Q=90°+∠GHN

∴∠Q=90°+(180°-2∠P)=180°-∠P.

故答案为（1）①∠M=90°+∠A；②2∠P=∠A；

（2）①∠P=(+)-90°；②∠Q=180°-∠P.

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