Question

9．已知一元二次方程x²-2mx+m²+m-1=0，其中m为常数．
（1）若该一元二次方程有实数根，则m的取值范围m≤1；
（2）当m变化时，设抛物线y=x²-2mx+m²+m-1顶点为M，点N的坐标为N（3，0），请求出线段MN长度的最小值；
（3）设y=x²-2mx+m²+m-1与直线y=x交于不同的两点A、B，则m变化时，线段AB的长度是否发生变化？若不变，请求出AB的长；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据元二次方程有实数根，△≥0即可解决．
（2）根据两点之间的距离公式，转化为二次函数的最值问题解决．
（3）利用方程组求出（X₁-X₂）²=（y₁-y₂）²=5，再根据两点距离公式即可解决．

解答 解：（1）∵一元二次方程有实数根，
∴△≥0，
∴4m²-4m²-4m+4≥0
∴m≤1，
故答案为m≤1．
（2）∵y=x²-2mx+m²+m-1=（x-m）²+m-1，
∴顶点为M（m，m-1），
∵N（3，0），
∴MN²=（m-3）²+（m-1）²=2m²-8m+10=2（m-2）²+2，
∴m=2时，MN²的最小值为2，
∴MN的最小值为$\sqrt{2}$．
（3）AB的长度不变，AB=$\sqrt{10}$，理由如下：
设A（x₁，y₁0，B（X₂，Y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}-2mx+{m}^{2}+m-1}\end{array}\right.$消去y得x²-（2m+1）x+m²+m-1=0，
∴（X₁-X₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（2m+1）²-4（m²+m-1）=5，
∵y=x，
∴（y₁-y₂）²=5，
∴AB=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴AB的长度不变，AB=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查一元二次方程的根的判别式、二次函数的最值问题、两点的距离公式、根与系数的关系等知识，灵活运用根与系数关系是解决问题的关键．