Question

已知．如图，BC为半圆O的直径，F是半圆上异于B、C的一点，A是

BF

的中点，AD⊥BC于点D，BF交AD于点E．
（1）求证：BE•BF=BD•BC；
（2）试比较线段BD与AE的大小，并说明道理．

Answer 1

分析：（1）连接FC，根据有两组角相等的两个三角形相似得到△BDE∽△BFC，根据相似三角形的对应边成比例即可得到结论．
（2）连接AC，AB，根据圆周角定理及余角的性质可得到BE=AE，由已知可知BE＞BD，从而就得到AE＞BD．

解答：（1）证明：连接FC，∵BC为半圆O的直径
则BF⊥FC
∵∠BFC=∠BDE=90°，∠FBC=∠EBD
∴△BDE∽△BFC
∴BE：BC=BD：BF
∴BE•BF=BD•BC

（2）解：AE＞BD．理由如下：
连接AC，AB，则∠BAC=90°
∵A是

BF

的中点
∴∠ABF=∠ACB
∵∠ACB+∠ABC=90°，∠BAD+∠ABC=90°
∴∠ACB=∠BAD
∴∠BAD=∠ABF
∴BE=AE
∵BE＞BD
∴AE＞BD

点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定及圆周角定理等知识点的综合运用．