Question

如图（l），在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，且AE＝BF，AF与DE交于点G．

（1）试探索线段AF、DE的数量和位置关系，写出你的结论并说明理由；
（2）连结EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图（2）中补全图形，并说明理由．

Answer 1

(1) AF=DE且AF⊥DE，理由见解析（2）正方形，理由见解析

(1) AF=DE且AF⊥DE
在△ABF和△DAE中,
∵AB="DA," ∠B=∠DAE,BF=AE
∴△ABF≌△DAE                   
∴AF=DE,                         …………2分
∠BAF=∠ADE              
又∵∠BAF+∠DAG=90^o
∴∠ADE+∠DAG=90^o
∴∠AGD=90^o , 即AF⊥DE.           …………4分
(2) 四边形HIJK是正方形
∵H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点
∴HK∥DE且HK =,IJ∥DE且IJ =
∴HK ∥IJ且HK =IJ
∴HIJK是平行四边形                 …………6分
同理可证HI∥KJ且HI=KJ=,       
又∵AF=DE ∴HI=IJ ∴HIJK是菱形  …………8分
又∵AF⊥DE ∴HI⊥IJ
∴四边形HIJK是正方形.                …………9分
（1）根据已知利用SAS判定△DAE≌△ABF，由全等三角形的判定方法可得到AF=DE．
（2）根据已知可得HK，KJ，IJ，HI都是中位线，由全等三角形的判定可得到四边形四边都相等且有一个角是直角，从而来可得到该四边形是正方形．