Question

【题目】已知函数f（x）= ，关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0只有两个整数解，则实数a的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】（﹣ln2，﹣ ]
【解析】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），则f′（x）= ． 当f′（x）＞0得1﹣ln（2x）＞0，即ln（2x）＜1，即0＜2x＜e，即0＜x＜ ，
由f′（x）＜0得1﹣ln（2x）＜0，得ln（2x）＞1，即2x＞e，即x＞ ，
即当x= 时，函数f（x）取得极大值，同时也是最大值f（ ）= ，
即当0＜x＜ 时，f（x）＜ 有一个整数解1，
当x＞ 时，0＜f（x）＜ 有无数个整数解，①若a=0，则f2（x）+af（x）＞0得f2（x）＞0，此时有无数个整数解，不满足条件．②若a＞0，则由f2（x）+af（x）＞0得f（x）＞0或f（x）＜﹣a，当f（x）＞0时，
不等式由无数个整数解，不满足条件．③当a＜0时，由f2（x）+af（x）＞0得f（x）＞﹣a或f（x）＜0，当f（x）＜0时，没有整数解，
∵f（1）=ln2，f（2）=ln2，f（3）= ，
∴当f（x）≥ln2时，函数有两个整数点1，2，当f（x）≥ 时，函数有3个整数点1，2，3
∴要使f（x）＞﹣a有两个整数解，必有 ≤﹣a＜ln2，即﹣ln2＜a≤﹣ ln6，
所以答案是（﹣ln2，﹣ ]

【考点精析】关于本题考查的函数单调性的性质，需要了解函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集才能得出正确答案．