Question

如图，在OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60^o，OC=4cm．OA=8cm．动点P从点O出发，以1cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时从点O出发，以acm／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．

(1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是_______cm；

(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大?   

(3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）C(2，2)，OB=4cm（2），当t=8时，S最大（3）a=1+ (0<t≤8)或a=1－ (6≤t≤8)

【解析】解：（1）C(2，2)，OB=4cm。

（2）①当0<t≤4时，

过点Q作QD⊥x轴于点D(如图1)，

则QD=t。

∴S=OP·QD=t²。

②当4<t≤8时，

作QE⊥x轴于点E(如图2)，

则QE=2。

∴S =DP·QE=t。

③当8<t<12时，

延长QP交x轴于点F，过点P作PH⊥AF于点H(如图3)。

易证△PBQ与△PAF均为等边三角形，

∴OF=OA+AP=t，AP=t－8。∴PH= (t－8)。

∴=t·2－t· (t－8)

                  =－t²+3t。 

综上所述， 。

∵①②中S随t的增加而增加，

③中，S随t的增加而减小，

∴当t=8时，S最大。   

（3）①当△OPM∽△OAB时(如图4)，

则PQ∥AB。

∴CQ=OP。

∴at－4=t，即a=1+。 t的取值范围是0<t≤8。   

②当△OPM∽△OBA时(如图5)，

则， 即。∴OM=。

 又∵QB∥OP，∴△BQM～△OPM。

∴，即。

整理得t－at=2，即a=1－，t的取值范围是6≤t≤8。   

综上所述：a=1+ (0<t≤8)或a=1－ (6≤t≤8)。

（1）如图，过点C、B分别作x的垂线于点M、N， 

则在Rt△COM中，由∠AOC=60^o，OC=4，应用锐角三角函数定义，可求得OM=2，CM=2，

∴ C(2，2)。

由CMNB是矩形和OA=8得BM=2，

ON=10，在Rt△OBN中，由勾股定理，得OB=4。

（2）分0<t≤4，4<t≤8和8<t<12分别讨论，得到函数关系式后根据一次函数和二次函数的性质求出S最大时t的值。

（3）分△OPM∽△OAB和△OPM∽△OBA两种情况讨论即可。