Question

18．如图，已知抛物线y=-x²+2x+3与坐标轴交于A，B，C三点，点D，C关于原点对称，点M，N是抛物线上两点，且四边形CMDN为平行四边形，求点M，N的坐标．

Answer 1

分析 根据平行四边形的对角线互相平分即可得到M和N关于原点O对称，则设M的坐标是（a，b），则N的坐标是（-a，-b），代入函数解析式即可求得a和b的关系，得到直线MN的函数解析式，然后解MN的解析式与二次函数解析式组成的方程组求得M、N的坐标．

解答 解：设M的坐标是（a，b），则N的坐标是（-a，-b）．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-{a}^{2}+2a+3=b…①}\\{-{a}^{2}-2a+3=-b…②}\end{array}\right.$，
①-②得：4a=2b，即b=2a．
则MN在直线y=2x上．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}}\\{y=-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
则M的坐标是（-$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$），N的坐标是（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确求得M、N所在的直线的解析式是关键．