Question

已知抛物线C₁：y=ax²+4ax+4a-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求抛物线的解析式和顶点P的坐标；
（2）将抛物线沿x轴翻折，再向右平移，平移后的抛物线C₂的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求平移后的抛物线C₂的解析式；
（3）直线与抛物线C₁、C₂的对称轴分别交于点E、F，设由点E、P、F、M构成的四边形的面积为s，试用含m的代数式表示s．

Answer 1

解：（1）由抛物线C₁：y=ax²+4ax+4a-5=a（x+2）²-5得
∴顶点P的坐标为（-2，-5）
∵点B（1，0）在抛物线C₁上，∴a=
∴抛物线C₁的解析式为；

（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G
∵点P、M关于点B成中心对称
∴PM过点B，且PB=MB
∴△PBH≌△MBG
∴MG=PH=5，BG=BH=3
∴顶点M的坐标为（4，5）
∴抛物线C₂的表达式为y=-（x-4）²+5；

（3）依题意得，E（-2，），F（4，），HG=6
①当E点的纵坐标小于-5时，
PE=，MF=，
∴；
②当E点的纵坐标大于-5且F点的纵坐标小于5时，
PE=，MF=，
∴；
③当F点的纵坐标大于5时，
PE=，MF=
∴．
分析：（1）首先把抛物线C₁配方即可得到顶点坐标，然后把B的坐标当然其中计算即可求出抛物线C₁的解析式；
（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G，然后证明△PBH≌△MBG，接着利用全等三角形的性质求出M的坐标，最后就可以求出抛物线C₂的解析式；
（3）首先分别用m表示E、F两点的坐标，然后讨论：
①当E点的纵坐标小于-5时，用m的代数式分别表示PE，MF，然后就可以用含m的代数式表示s；
②当E点的纵坐标大于-5且F点的纵坐标小于5时，也是m的代数式分别表示PE，MF，然后就可以用含m的代数式表示s；
③当F点的纵坐标大于5时，也是用m的代数式分别表示PE，MF，然后就可以用含m的代数式表示s；
点评：此题是二次函数的综合题，分别考查了待定系数法确定函数的解析式、二次函数的图象和性质、全等三角形的判定性质及轴对称的性质，综合性很强，要求学生有很强的综合分析问题解决问题的能力，同时要求学生的基础知识是很熟练的．