Question

证明以下各式：
（1）若abc=1，则

1

ab+a+1

+

1

bc+b+1

+

1

ac+c+1

=1
（2）若a+b+c=0，则

1

a2+b2-c2

+

1

b2+c2-a2

+

1

c2+a2-b2

=0
（3）已知：

x

a

+

y

b

+

z

c

=1且

a

x

+

b

y

+

c

z

=0，求证：

x2

a2

+

y2

b2

+

z2

c2

=1
（4）若：x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by．求证：

a

1+a

+

b

1+b

+

c

1+c

=1．

Answer 1

分析：（1）由于abc=1，可以把题目中的第一个分式的1分子变为abc，或者把分子中的ac乘以b变为1，最后就可以变为同分母的分式加减，由此即可求解；
（2）由于a+b+c=0，由此得到a=-（b+c），b=-（a+c），c=-（a+b），然后分别代入题目中的分母中，接着利用完全平方公式分解即可求解；
（3）首先把

x

a

+

y

b

+

z

c

=1两边平方，然后把

a

x

+

b

y

+

c

z

=0变为

ayz+bxz+cxy

xyz

=0，然后分别代入所证明的等式的左边，由此即可解决问题；
（4）首先联立已知等式组成方程组，解方程组可以分别得到（x+y+z）=2ax+2by+2cz，y+z-x=2ax，x+z-y=2by，x+y-z=2cz；
接着得到x+y+z=2（1+a）x=2（1+b）y=2（1+c）z，由此即可证明题目的问题．

解答：（1）证法1：
∵abc=1
∴左边=

abc

ab+a+abc

+

1

bc+b+1

+

1

ac+c+1

= bc b+1+bc + 1 bc+b+1 + abc ac+c+abc = 1+bc 1+b+bc + ab a+1+ab = 1+bc 1+b+bc + ab a+abc+ab = 1+bc 1+b+bc + b 1+bc+b =1

=右边
所以等式成立．
证法2：
∵abc=1
∴c=

1

ab

，ac=

1

b

，bc=

1

a

∴左边=

1

ab+a+1

+

1

bc+b+c

+

1

ac+c+1

= 1 ab+a+1 + 1 1 a +b+1 + 1 1 b + 1 ab +1 = 1 ab+a+1 + a 1+ab+a + ab a+1+ab = 1+a+ab 1+a+ab =1

=右边
等式成立．
（2）∵a+b+c=0
∴a=-（b+c），b=-（a+c），c=-（a+b）
∴原式左边=

1

b2+a2-c2

+

1

b2+c2-a2

+

1

c2+a2-b2

= 1 (b2+a2)-(a+b)2 + 1 (b2+c2)-(b+c)2 + 1 c2+a2-(a+c)2 =- 1 2bc - 1 2ac - 1 2ab =- a+b+c 2abc =0

=右边即等式成立．
（3）∵

x

a

+

y

b

+

z

c

=1…(1)
∵(1)2得：(

x

a

+

y

b

+

z

c

)2=1；
又∵

a

x

+

b

y

+

c

z

=0…(2)
∴由（2）式得：

ayz+bxz+cxy

xyz

=0
∴等式左边=(

x

a

+

y

b

+

z

c

)2-2(

xy

ab

+

xz

ac

+

yz

bc

)=1-2•

cxy+bxz+ayz

abc

=1=右边所以等式成立．
（4）∵

x=by+cz…(1) y=cz+ax…(2) z=ax+by…(3)

由（1）+（2）×（3）得：（x+y+z）=2ax+2by+2cz（4）
由（4）-（1）×2得：y+z-x=2ax；
由（4）-（2）×2得：x+z-y=2by；
由（4）-（2）×2得：x+y-z=2cz；
∴x+y+z=2（1+a）x=2（1+b）y=2（1+c）z
令x+y+z≠0，
∴（1+a）x≠0，（1+b）y≠0，（1+c）z≠0．
∴

1

1+a

=

2x

x+y+z

∴a=

y+z-x

2x

∴

a

1+a

=

y+z-x

x+y+z

，
同理：

b

1+b

=

x+z-y

x+y+z

，

c

1+c

=

x+y-z

x+y+z

∴

1

1+a

+

b

1+b

+

c

1+c

=

y+z-x+x+z-y+x+y-z

x+y+z

=1

点评：此题主要考查了由分式等式向整式等式转化的方法，因式分解在整式变形中的作用．几个因式的积为0，这几个因式中至少有一个为0．