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19.如图,⊙O的圆心O在坐标原点,直径AB=8,点P是直径AB上的一个动点(点P不与A、B两点重合),过点P的直线PQ的解析式为y=x+m,当直线PQ交y轴于Q,交⊙O于C、D两点时,过点C作CE垂直于x轴交⊙O于点E,过点E作EG垂直于y轴,垂足为G,过点C作CF垂直于y轴,垂足为F,连接DE.
(1)点P在运动过程中,圆周角∠PCE=45°,其所对的弦DE的长不变(“变化”或“不变”);
(2)当m=3时,试求矩形CEGF的面积;
(3)当P在运动过程中,探索PD2+PC2是否会发生变化?如果发生变化,请你说明理由;如果不发生变化,请你求出这个不变的值;
(4)当△PDE的面积为4时,求CD的长度.

分析 (1)利用图象与x,y轴交点坐标得出QO=PO,从而得出∠PCE的度数;
(2)利用勾股定理求出CF,FO的长度,求出矩形CEGF的面积即可;
(3)根据PC2+PD2=PD2+PE2=DE2,得出即可;
(4)分别从当点P在直径AB上时,以及当点P在线段AB的延长线上时得出CD与CM的长度关系,进而求出即可.

解答 解:(1)∵过点P的直线PQ的解析式为y=x+m,
∴图象与x轴交点坐标的为:(-m,0),图象与y轴交点坐标的为:(0,m),
∴QO=PO,∠POQ=90°,
∴∠CPB=45°,
∵CE∥y轴,
∴∠PCE=∠CPB=45°,
∵无论点P怎么移动,∠PCE都等于45°,
∴其所对的弦DE的长不变;

(2)∵∠CPB=45°,
∴∠CQF=∠PQO=45°,
∴FC=FQ,
设FC=FQ=a,
则OF=a+3,
如图1,连接OC,
在Rt△OCF中,FC2+OF2=OC2⇒a2+(a+3)2=42⇒2a2+6a=7,
∴S四边形CEGF=CF×2FO=a×2(a+3)=7;

(3)不变.
∵AB垂直平分CE,
∴PC=PE,且∠CPB=∠EPH=45°,
∴PE⊥CD,
∴PD2+PC2=PD2+PE2=DE2
∵∠PCH=45°,
∴$\widehat{DE}$=90°,
∴DO⊥EO,
∴DE=$\sqrt{2}$OD=4$\sqrt{2}$,
∴PD2+PC2=32;

(4)当点P在直径AB上时,S△PDE=$\frac{1}{2}$PD×PE=$\frac{1}{2}$PD×PC=4,PD×PC=8,
又∵PD2+PC2=32,
∴CD2=(PD+PC)2=32+16=48,CD=4$\sqrt{3}$,
如图2,当点P在AB延长线上,
同理可得:CD2=(PC-PD)2=32-16=16,
开方得:CD=4.
综上,CD的长为$\sqrt{3}$或4.

点评 此题主要考查了圆的综合题,三角形的面积以及平方差公式应用以及一次函数的综合应用,要注意的是(4)中,要根据P点的不同位置进行分类求解.

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例如:由于$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{32}=1$,所以$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=1-\frac{1}{32}$.
完成解答:
①类比上面推理将累加式$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+A+\frac{1}{{2}^{n}}$化简为1-$\frac{1}{{2}^{n}}$;
②利用上面的解题方法化简累加式1+2+22+23+24+A+2n=2n+1-1;
③化简累加式:$\frac{5}{2}+\frac{17}{4}+\frac{65}{8}+\frac{257}{16}+…+\frac{(2n)^{2}+1}{{{2}^{n}}_{\;}}$=2n+1-1-$\frac{1}{{2}^{n}}$.

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