Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，直线y=x+4分别交x轴、y轴于点A、C，直线BC与直线AC关于y轴对称，动点D从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，当点D出发后，过点D作DE∥BC交折线A﹣O﹣C于点E，以DE为边作等边△DEF，设△DEF与△ACO重叠部分图形的面积为S，点D运动的时间为t秒．

（1）写出坐标：点A（ 　），点B（　 　），点C（　 　）；

（2）当点E在线段AO上时，求S与t之间的函数关系式；

（3）求出以点B、E、F为顶点的三角形是直角三角形时t的值；

（4）直接写出点F运动的路程长为　 　．

Answer 1

【答案】（1）﹣4，0；4，0；0，4 ；（2）S=﹣；（3）t的值是 秒或 秒；（4）4+4．

【解析】

（1）令x=0，得即可求出点的坐标，令y=0，得即可求出点的坐标，根据直线BC与直线AC关于y轴对称，即可求出点的坐标.

（2）当点F在OC上时，求出的值，然后分两种情况进行讨论即可.

（3）分∠EFB=90°和∠FEB=90°两种情况进行讨论，分别画出示意图，进行计算即可.

（4）点E在线段OA上时，如图,点F的运动路径为等边△ACB中BC边上的高线AF，

当点E在线段OC上时，设BC的中点为P，如图点F的运动路径为PC的长，相加即可.

（1）x=0时，

∴

当y=0时，

∴

∵直线BC与直线AC关于y轴对称，

∴B（4，0），

故答案为：﹣4，0；4，0；0，

（2）Rt△ACO中，

∴∠CAO=60°，

∵AC=BC，

∴∠ABC=∠CAO=60°，

∵DE∥BC，

∴∠AED=∠ABC=60°，

∴△ADE是等边三角形，

∴AD=AE=2t，

当点F在OC上时，如图1，

∵∠AED=∠DEF=60°，

∴∠OEF=30°，

∵∠EOF=90°，

∵EF=DE=AD=2t，

∴

∵AO=AE+OE=2t+t=4，

①当时，点E在线段OA上，△DEF与△ACO重叠部分图形是△DEF，如图2，

②当时，如图3，△DEF与△ACO重叠部分图形是四边形DEGH，

∵AE=2t，OE=4﹣2t，

Rt△EOG中，∠EGO=30°，

∴

Rt△FHG中，∠HGF=30°，

∴

∴S=S△DEF﹣S△GHF，

（3）①如图4，当0＜t≤2时，∠EFB=90°，∠FBE=30°，

∴BE=2EF=2AD，

则8﹣2t=4t，

②如图5，当2＜t＜4时，E在y轴上，

∠FEB=90°，∠FBE=30°，

∵∠ABC=60°，

∴∠EBO=30°，

∵OB=4，

∴

∴

∵BF=AD，

∴

综上，t的值是秒或秒；

（4）动点D从点A出发，DE∥BC，点E在线段OA上时，如图6，点F的运动路径为等边△ACB中BC边上的高线AF，

此时

当点E在线段OC上时，设BC的中点为P，如图7，点F的运动路径为PC的长，

∵

∴点F运动的路程长为：

故答案为：