Question

如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD=2，△ABE与△DCE的面积之比为4：1，试求AB及∠AED．

Answer 1

分析：根据面积比等于相似比平方可得出AB的长度，过点O作OF⊥CD于点F，可求出∠COF=30°，∠OCF=60°，而∠AED=∠EBA+∠EAB=∠DCA+∠ACO=∠FCO，从而可得出答案．

解答：
解：由题意得，∠DCE=∠ABE，∠EAB=∠EDC，
故△ABE∽△DCE，
∵△ABE与△DCE的面积之比为4：1，
∴（

AB

DC

）²=4：1，
故可求得AB=4，
过点O作OF⊥CD于点F，连接OC，
则CF=DF=1，OC=2，
在Rt△OCF中，可得∠COF=30°，∠OCF=60°，
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
故可得∠AED=∠EBA+∠EAB=∠DCA+∠ACO=∠FCO=60°．
综上可得AB=4，∠AED=60°．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理，有一定难度，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．