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D、E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB、AC的中点.O是△ABC平面上的一动点,连接OB、OC,G、F分别是OB、OC的中点,顺次连接点D、G、F、E.

(1)如图,当点O在△ABC内时,求证:四边形DGFE是平行四边形;
(2)若四边形DGFE是菱形,点O所在位置应满足什么条件?(直接写出答案,不需说明理由.)
(1)根据三角形的中位线定理可证得DE∥GF,DE=GF,即可证得结论;
(2)解法一:点O的位置满足两个要求:AO=BC,且点O不在射线CD、射线BE上.
解法二:点O在以A为圆心,BC为半径的一个圆上,但不包括射线CD、射线BE与⊙A的交点.
解法三:过点A作BC的平行线l,点O在以A为圆心,BC为半径的一个圆上,但不包括l与⊙A的两个交点.

试题分析:(1)根据三角形的中位线定理可证得DE∥GF,DE=GF,即可证得结论;
(2)根据三角形的中位线定理结合菱形的判定方法分析即可.
(1)∵D、E分别是边AB、AC的中点.
∴DE∥BC,DE=BC.
同理,GF∥BC,GF=BC.
∴DE∥GF,DE=GF.
∴四边形DEFG是平行四边形;
(2)解法一:点O的位置满足两个要求:AO=BC,且点O不在射线CD、射线BE上.
解法二:点O在以A为圆心,BC为半径的一个圆上,但不包括射线CD、射线BE与⊙A的交点.
解法三:过点A作BC的平行线l,点O在以A为圆心,BC为半径的一个圆上,但不包括l与⊙A的两个交点.
点评:平行四边形的判定和性质是初中数学的重点,贯穿于整个初中数学的学习,是中考中比较常见的知识点,一般难度不大,需熟练掌握.
练习册系列答案
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