Question

1．如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，
（1）如图1，连接AG、CE，试判断CE或和AG的数量关系和位置关系并证明；
（2）将正方形BEFG绕点B逆时针旋转β角，如图2，连接AG、CE相交于点M，过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，当角β发生变化时，CM与BM是否存在确定的数量关系？若存在，求出它们的关系；若不存在，说明理由；
（3）当正方形BEFG绕点B旋转到如图3的位置时，连接CE并延长交AG于点M，若AB=4，BG=$\sqrt{2}$，则CM=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 （1）AG=EC，AG⊥EC，理由为：由正方形BEFG与正方形ABCD，利用正方形的性质得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS得出三角形ABG与三角形CBE全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到CE=AG，∠BCE=∠BAG，再利用同角的余角相等即可得证；
（2）过B作BP⊥EC，BH⊥AM，利用SAS得出△ABG与△BEC全等，得出面积相等，而AG=EC，可得出BP=BH，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上得到BM为角平分线，再由∠BAG=∠BCE，得到∠AMC为直角，即∠AME为直角，由角平分线定义得出∠AMN=45°，在AN上截取NQ=NB，得出△BNQ为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得到BQ=$\sqrt{2}$BN，再证明BQ=CM，证明△ABQ与△BCM全等，再由三角形ANM为等腰直角三角形得到NA=NM，由等式的性质得到AQ=BM，由SAS得出全等，即可得出结论；
（3）连接GE，交AB于P，连接CG，延长CB使CB⊥GK于点K，由题意得：GP=PB=$\sqrt{2}$sin45°=1，由勾股定理求出AG=$\sqrt{10}$，由SAS证明△ABG≌△BEC，得出∠BCE=∠BAG，∠AMC=∠ABC=90°，S_△AGB+S_△ABC=S_{四边形ACBG}=S_△ACG+S_△BCG，与三角形的面积即可得出结果．

解答 解：（1）AG=EC，AG⊥EC，理由如下：
∵正方形BEFG，正方形ABCD，
∴GB=BE，∠ABG=90°，AB=BC，∠ABC=90°，
在△ABG和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BG=BE}\\{∠ABG=∠EBC=90°}\\{BA=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△BEC（SAS），
∴CE=AG，∠BCE=∠BAG，
延长CE交AG于点M，如图1所示：
∴∠BEC=∠AEM，
∴∠ABC=∠AME=90°，
∴AG=EC，AG⊥EC；
（2）CM=$\sqrt{2}$BN，理由如下：
在NA上截取NQ=NB，连接BQ，过B作BP⊥EC，BH⊥AM，如图2所示：
在△ABG和△CEB中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABG=∠CBE=90°-∠GBC}\\{BG=EB}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CEB（SAS），
∴S_△ABG=S_△EBC，AG=EC，∠BCE=∠BAG，
∴$\frac{1}{2}$EC•BP=$\frac{1}{2}$AG•BH，
∴BP=BH，
∴MB为∠EMG的平分线，
∵∠BCE=∠BAG，∠AOB=∠COM，
∴∠AMC=∠ABC=90°，
∴∠AMN=∠EMB=$\frac{1}{2}$∠EMG=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∵NQ=NB，
∴△BNQ为等腰直角三角形，即BQ=$\sqrt{2}$BN，
∵∠AMN=45°，∠N=90°，
∴△AMN为等腰直角三角形，即AN=MN，
∴MN-BN=AN-NQ，即AQ=BM，
∵∠MBC+∠ABN=90°，∠BAN+∠ABN=90°，
∴∠MBC=∠BAN，
在△ABQ和△BCM中，$\left\{\begin{array}{l}{AQ=BM}\\{∠BAN=∠MBC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△BCM（SAS），
∴CM=BQ，
则CM=$\sqrt{2}$BN．
（3）连接GE，交AB于P，连接CG，延长CB使CB⊥GK于点K，如图3所示：
由题意得：GP=PB=$\sqrt{2}$sin45°=1，
∴AP=3，AG=$\sqrt{A{P}^{2}+G{P}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵EG⊥AB，BC⊥AB，
∴EG∥BC，
则GK=PB=1，
∴以BC为底边的△BCG的高为GK=1，
在△ABG和△BEC中，$\left\{\begin{array}{l}{BG=BE}\\{∠ABG=∠EBC=45°}\\{BA=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△BEC（SAS），
∴∠BCE=∠BAG，
∴∠AMC=∠ABC=90°，
S_△AGB+S_△ABC=S_{四边形ACBG}=S_△ACG+S_△BCG，
∴$\frac{1}{2}$AB•GP+$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$AG•CM+$\frac{1}{2}$BC•GK，
即：$\frac{1}{2}$×4×1+$\frac{1}{2}$×4×4=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$×CM+$\frac{1}{2}$×4×1，
∴CM=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$，
故答案为：$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题是几何变换综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，证明三角形全等是解决问题的关键．