练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分精英家教网别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D(4，-
    2
    3
    )    ．
    （1）求抛物线的解析式．
    （2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同
    时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）
    ①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
    ②当S取
    5
    4
    时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．
    （3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．
    分析：（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，求出A、B、D的坐标代入即可；
    （2）①由勾股定理即可求出，②假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形，求出P、Q的坐标，再分为两种种情况：A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标．
    （3）A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，求出直线BD的解析式，把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标．
    解答：解：（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，
    ∵正方形的边长2，
    ∴B的坐标（2，-2）A点的坐标是（0，-2），
    把A（0，-2），B（2，-2），D（4，-
    2
    3
    ）代入得：
    c=-2
    4a+2b+c=-2
    16a+4b+c=-
    2
    3
    ，
    解得a=
    1
    6
    ，b=-
    1
    3
    ，c=-2，
    ∴抛物线的解析式为：y=
    1
    6
    x2-
    1
    3
    x-2    ，
    答：抛物线的解析式为：y=
    1
    6
    x2-
    1
    3
    x-2    ．

    （2）①由图象知：PB=2-2t，BQ=t，
    ∴S=PQ2=PB2+BQ2，
    =（2-2t）2+t2，
    即S=5t2-8t+4（0≤t≤1）．
    答：S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2-8t+4，t的取值范围是0≤t≤1．
    ②解：假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形．
    ∵S=5t2-8t+4（0≤t≤1），
    ∴当S=
    5
    4
    时，5t2-8t+4=
    5
    4
    ，得20t2-32t+11=0，
    解得t=
    1
    2
    ，t=
    11
    10
    （不合题意，舍去），
    此时点P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，-
    3
    2
    ），
    若R点存在，分情况讨论：
    （i）假设R在BQ的右边，如图（1）所示，这时QR=PB，RQ∥PB，
    则R的横坐标为3，R的纵坐标为-
    3
    2
    ，
    即R（3，-
    3
    2
    ），
    代入y=
    1
    6
    x2-
    1
    3
    x-2    ，左右两边相等，
    ∴这时存在R（3，-
    3
    2
    ）满足题意；

    （ii）假设R在QB的左边时，这时PR=QB，PR∥QB，
    则R（1，-
    5
    2
    ）代入，y=
    1
    6
    x2-
    1
    3
    x-2    ，
    左右不相等，∴R不在抛物线上．
    综上所述，存在一点R（3，-
    3
    2
    ）满足题意．精英家教网
    则存在，R点的坐标是（3，-
    3
    2
    ）；

    （3）如图（2），M′B=M′A，
    ∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，
    理由是：∵MA=MB，若M不为L与DB的交点，则三点B、M、D构成三角形，
    ∴|MD|-|MB|＜|DB|，
    即M到D、A的距离之差为|DB|时，差值最大，精英家教网
    设直线BD的解析式是y=kx+b，把B、D的坐标代入得：
    2k+b=-2
    4k+b=-
    2
    3
    ，
    解得：k=
    2
    3
    ，b=-
    10
    3
    ，
    ∴y=
    2
    3
    x-
    10
    3
    ，
    抛物线y=
    1
    6
    x2-
    1
    3
    x-2    的对称轴是x=1，
    把x=1代入得：y=-
    8
    3

    ∴M的坐标为（1，-
    8
    3
    ）；
    答：M的坐标为（1，-
    8
    3
    ）．
    点评：本题主要考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，勾股定理，平行四边形的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解此题的关键是综合运用这些知识进行计算．此题综合性强，是一道难度较大的题目．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y=
    9x
    的图象在第一象限相精英家教网交于点A，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点B、C．如果四边形OBAC是正方形，求一次函数的关系式．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    5、如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-2，0）和（2，0）．月牙①绕点B顺时针旋转90°得到月牙②，则点A的对应点A′的坐标为（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图所示，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始依次关于点A，B，C作循环对称跳动，即第一次从点P跳到关于点A的对称点M处，第二次从点M跳到关于点B的对称点N处，第三次从点N跳到关于点C的对称点处，…如此下去．
    （1）在图中标出点M，N的位置，并分别写出点M，N的坐标：
     
    ．
    （2）请你依次连接M、N和第三次跳后的点，组成一个封闭的图形，并计算这个图形的面积；
    （3）猜想一下，经过第2009次跳动之后，棋子将落到什么位置．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图所示，在平面直角坐标系xoy中，有一组对角线长分别为1，2，3的正方形A1B1C1O、A2B2C2B1、A3B3C3B2，其对角线OB1、B1B2、B2 B3依次放置在y轴上（相邻顶点重合），依上述排列方式，对角线长为n的第n个正方形的顶点An的坐标为
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（-1，0）、B（3，0）两点，抛物线与y轴交点为C，其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接精英家教网BE．
    （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
    （2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出s的最大值；
    （3）在（2）的条件下，当s取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P'，请直接写出P'点坐标，并判断点P'是否在该抛物线上．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案