Question

已知平行四边形ABCD中对角线AC的垂直平分线交AD于点F，交BC于点E．
求证：四边形AECF是菱形．
证明：∵EF是AC的垂直平分线（已知）
∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）．
老师说小明的解答不正确
（1）能找出小明错误的原因吗？请你指出来．
（2）请你给出本题的证明过程．

Answer 1

解：（1）小明错在AC和EF并不是互相平分的，EF垂直平分AC，但AC并不平分EF，需要通过证明得出．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠FAC=∠ECA
在△AOF与△COE中
∴△AOF≌△COE
∴EO=FO
∴四边形AECF是菱形．
分析：（1）EF垂直平分AC，但AC并不平分EF，需要通过证明得出；
（2）ABCD是平行四边形，可得∠FAC=∠ECA，则可证得△AOF≌△COE，故EO=FO，又因为EF垂直平分AC，从而根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形来得到所求的结论．
点评：本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．