Question

17．如图所示的抛物线是由抛物线y=-x²向上平移4个单位长度，再向右平移1个单位长度得到，与y轴交于C点．
（1）写出这条抛物线的解析式．
（2）点P为抛物线在x轴上方的一个动点，求满足△ABP和△ABC面积相等的点P的坐标．
（3）点Q为对称轴上的一个动点，求使△ACQ得周长最短的点Q的坐标．
（4）点R为对称轴上的一个动点，求使|AR-CR|的值最大的点R的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线平移规律：“上加下减，左加右减”即可写出．
（2）如图1中，作CP∥AB，交抛物线于P，连接AP、PB．点P就是所求的点．
（3）如图2中，连接BC与对称轴交于点Q，此时QA+QC最小，即△QAC周长最小．求出直线BC的解析式，解方程组即可．
（4）如图3中，延长AC交对称轴于R，R′是对称轴上任意一点，由|AR′-CR′|≤AC，可知当A、C、R′共线时，|AR-CR|的值最大，最大值为AC的长．求出直线AC的解析式解方程组即可解决问题．

解答 解：（1）抛物线y=-x²向上平移4个单位长度，再向右平移1个单位长度得到y=-（x-1）²+4．

（2）如图1中，作CP∥AB，交抛物线于P，连接AP、PB．

∵抛物线解析式为y=-x²+2x+3，
令x=0，得y=3，
令y=0，得-x²+2x+3=0，解得x=-1或3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．
∵CP∥AB，
∴S_△ABC=S_△ABP，点P的纵坐标y_P=3，
与-x²+2x+3=3，解得x=0或2，
∴点P坐标（2，3）．

（3）如图2中，连接BC与对称轴交于点Q，此时QA+QC最小，即△QAC周长最小．

设直线BC的解析式为y=kx+b，
则有$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=-x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{x=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴点Q坐标为（1，2）．

（4）如图3中，延长AC交对称轴于R，R′是对称轴上任意一点，

∵|AR′-CR′|≤AC，
∴当A、C、R′共线时，|AR-CR|的值最大，最大值为AC的长．
时直线AC的解析式为y=mx+n，
则有$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{-m+n=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=3x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+3}\\{x=1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴点R坐标（1，6）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、三角形面积、平行线的性质、两点之间线段最短、三角形的两边之差小于第三边等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用对称解决最小值问题，学会利用三角形两边之差小于第三边，解决两边之差的最大值问题，属于中考压轴题．