Question

【题目】如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°.以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN.

(1)求证：MN＝BM＋NC；

(2)求△AMN的周长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）6.

【解析】

（1）先证明△BDF≌△CDN，得出∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，同时再证明△DMN≌△DMF，得出MN＝MF＝MB＋BF＝MB＋CN.

（2）根据MN＝MB＋CN，得出△AMN的周长为AM＋AN＋MN＝AM＋MB＋AN＋CN＝AB＋AC＝6.

解：(1)∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴∠BCD＝∠DBC＝30°.

∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BCA＝60°，

∴∠DBA＝∠DCA＝90°，

延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，

由SAS可证△BDF≌△CDN，

∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，

∵∠MDN＝60°，∴∠FDM＝∠BDM＋∠CDN＝60°，

由SAS可证△DMN≌△DMF，

∴MN＝MF＝MB＋BF＝MB＋CN

(2)由(1)知MN＝MB＋CN，

∴△AMN的周长为AM＋AN＋MN＝AM＋MB＋AN＋CN＝AB＋AC＝6