Question

15、两个全等的三角形如下图所示放置，点B、A、D在同一直线上．操作：在图中，在CB边上截取CM=AB，连接DM，交AC于N．请探究∠AND的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析：此题作图比较容易，如图要探究∠AND的大小，容易知道Rt△ABC≌Rt△DEA，但不能直接发挥作用，需要把△AED沿ADF翻转到△ADF的位置，这样AF与AC，CF就构成了等腰直角三角形∴∠FCA=45°，然后利用CM=AB=DE=DF，BC∥DF就可以证明四边形DFCM是平行四边形，这样∠AFD=∠FCA=45°了．

解答：解：作图基本正确，确定M，连接DM，确定交点N
猜测∠AND=45°
证明：∵Rt△ABC≌Rt△DEA，
∴AE=AC，∠EAD=∠ACB，AB=DE．
延长ED至点F，使DE=DF，连接AF、CF，
∵EF⊥AD，
∴AF=AE，∴∠FAD=∠EAD．
∴AF=AC，∠FAD=∠ACB．
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴∠BAC+∠ACB=90°．
∴∠BAC+∠FAD=90°．
∴∠FAC=90°．
∴△FAC是等腰直角三角形，
∴∠ACF=45°．
∵BC⊥AD，EF⊥AD，
∴BC∥EF．
∵CM=AB=DE=DF=DF，
∴四边形FDMC为平行四边形．
∴CF∥DM．
∴∠AND=∠ACF=45°．

点评：此题主要考查全等三角形的应用，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质及判定，此外利用图形变化--翻转作辅助线是解题的关键．