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    如图，把△OAB放置于平面直角坐标系xOy中，∠OAB=90°，OA=2，AB=
    3
    2
    ，把△OAB沿x轴的负方向平移2OA的长度后得到△DCE．
    （1）若过原点的抛物线y=ax2+bx+c经过点B、E，求此抛物线的解析式；
    （2）若点P在该抛物线上移动，当点P在第一象限内时，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连结OP．若以O、P、Q为顶点的三角形与以B、C、E为顶点的三角形相似，直接写出点P的坐标；
    （3）若点M（-4，n）在该抛物线上，平移抛物线，记平移后点M的对应点为M′，点B的对应点为B′．当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形M′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
    （1）依题意得：B(2，
    3
    2
    )    ．
    ∵OC=2，CE=
    3
    2
    ，∴E(-2，
    3
    2
    )    ．
    ∵抛物线经过原点和点B、E，∴设抛物线的解析式为y=ax2（a≠0）．
    ∵抛物线经过点B(2，
    3
    2
    )    ，
    ∴
    3
    2
    =4a    ．解得：a=
    3
    8
    ．
    ∴抛物线的解析式为y=
    3
    8
    x2    ；

    （2）∵点P在抛物线上，
    ∴设点P的坐标为（x，
    3
    8
    x2）．
    分两种情况：
    （i）当△OQP∽△BEC时，则
    PQ
    CE
    =
    OQ
    BE
    ，即
    3
    8
    x2
    3
    2
    =
    x
    4
    ，解得：x=1，
    ∴点P的坐标为（1，
    3
    8
    ）；
    （ii）当△PQO∽△BEC时，则
    PQ
    BE
    =
    OQ
    EC
    ，即
    3
    8
    x2
    4
    =
    x
    3
    2
    ，解得：x=
    64
    9
    ，
    ∴点P的坐标为（
    64
    9
    ，
    512
    27
    ）．
    综上所述，符合条件的点P的坐标是P(1，
    3
    8
    )    或P(
    64
    9
    ，
    512
    27
    )    ；

    （3）存在．
    因为线段M'B'和CD的长是定值，所以要使四边形M'B'CD的周长最短，只要使M'D+CB'最短．如果将抛物线向右平移，
    显然有M′D+CB′＞MD+CB，因此不存在某个位置，使四边形M′B′CD的周长最短，显然应该将抛物线y=
    3
    8
    x2    向左平移．
    由题知M（-4，6）．
    设抛物线向左平移了n个单位，则点M'和B′的坐标分别为M′（-4-n，6）和B′（2-n，
    3
    2
    ）．
    因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B″（-n，
    3
    2
    ）．
    要使M'D+CB'最短，只要使M'D+DB″最短．
    点M′关于x轴对称点的坐标为M″（-4-n，-6）．
    设直线M″B″的解析式y=kx+b（k≠0），点D应在直线M″B″上，
    ∴直线M″B″的解析式为y=
    6
    n
    x+
    24
    n

    将B″（-n，
    3
    2
    ）代入，求得n=
    16
    5
    ．
    故将抛物线向左平移
    16
    5
    个单位时，四边形M′B′CD的周长最短，此时抛物线的解析式为y=
    3
    8
    (x+
    16
    5
    )2    ．
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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知：如图，斜坡PQ的坡度i=1：
    		3
    ，在坡面上点O处有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，顶端A处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的抛物线落下，水流最高点M比点A高出1m，且在点A测得点M的仰角为30°，以O点为原点，OA所在直线为y轴，过O点垂直于OA的直线为x轴建立直角坐标系．设水喷到斜坡上的最低点为B，最高点为C．
    （1）写出A点的坐标及直线PQ的解析式；
    （2）求此抛物线AMC的解析式；
    （3）求|xC-xB|；
    （4）求B点与C点间的距离．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的坐标为（1，-
    4
    		3
    3
    ），交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，-
    		3
    ）．
    （1）求抛物线的表达式．
    （2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC．判断四边形ADBC的形状，并说明理由．
    （3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小？若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+42交x轴与点A，交直线y=x于点B，抛物线y=ax2-2x+c分别交线段AB、OB于点C、D，点C和点D的横坐标分别为16和4，点P在这条抛物线上．
    （1）求点C、D的纵坐标．
    （2）求a、c的值．
    （3）若Q为线段OB上一点，且P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长．
    （4）若Q为线段OB或线段AB上的一点，PQ⊥x轴，设P、Q两点之间的距离为d（d＞0），点Q的横坐标为m，直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，抛物线经过A，C，D三点，且三点坐标为A（-1，0），C（0，5），D（2，5），抛物线与x轴的另一个交点为B点，点F为y轴上一动点，作平行四边形DFBG，
    （1）B点的坐标为______；
    （2）是否存在F点，使四边形DFBG为矩形？如存在，求出F点坐标；如不存在，说明理由；
    （3）连结FG，FG的长度是否存在最小值？如存在求出最小值；若不存在说明理由；
    （4）若E为AB中点，找出抛物线上满足到E点的距离小于2的所有点的横坐标x的范围：______．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线y=
    2
    		3
    3
    x2+
    		3
    3
    上，过A作AB⊥x轴于点B，AD⊥y轴于点D，将矩形ABOD沿对角线BD折叠后得A的对应点为A′，重叠部分（阴影）为△BDC．
    （1）求证：△BDC是等腰三角形；
    （2）如果A点的坐标是（1，m），求△BDC的面积；
    （3）在（2）的条件下，求直线BC的解析式，并判断点A′是否落在已知的抛物线上？请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

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    （1）求S与x的函数关系式；
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    （3）能围出比45m2更大的花圃吗？若能，求出最大的面积；若不能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，P为抛物线y=
    3
    4
    x2-
    3
    2
    x+
    1
    4
    上对称轴右侧的一点，且点P在x轴上方，过点P作PA垂直x轴于点A，PB垂直y轴于点B，得到矩形PAOB．若AP=1，求矩形PAOB的面积．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

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    （2）求m的值；
    （3）若这个三角形的外接圆面积为25π，求△ABC的内接正方形（四个顶点都在三角形三边上）的边长．

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