Question

【题目】如图，A（﹣，0），B（﹣，3），∠BAC＝90°，C在y轴的正半轴上．

（1）求出C点坐标；

（2）将线段AB沿射线AC向上平移至第一象限，得线段DE，若D、E两点均在双曲线y＝上，

①求k的值；

②直接写出线段AB扫过的面积．

Answer 1

【答案】（1）（0，）；（2）①12；②

【解析】

（1）过点B作x轴的垂线，构造三垂直相似模型，由对应边成比例求得OC的长度．
（2）①由平移的性质可知，AB∥DE，AD∥BE，即D、E横纵坐标差与A、B横纵坐标差相等．因为沿射线AC平移，求直线AC的解析式，用d表示点D坐标，再用d表示点E坐标，由D、E在双曲线上，列得关于d、k的方程，进而求得k．
②由平移性质可知四边形ABED是平行四边形，又∠BAC=90°，即为矩形，所以线段AB扫过的面积即为矩形ABED的面积，用两点间距离公式求出AB、AD长度即求出面积．

解：（1）过点B作BH⊥x轴于点H，

∴∠BHA＝∠BAC＝∠AOC＝90°

∴∠B+∠BAH＝∠BAH+∠OAC＝90°

∴∠B＝∠OAC

∴△BAH∽△ACO

∴

∵A（﹣，0），B（﹣，3）

∴OA＝，OH＝，BH＝3

∴AH＝OH﹣OA＝＝2

∴CO＝

∴点C坐标为（0，）

（2）①∵线段AB沿射线AC向上平移至第一象限

∴点A对应点D在直线AC上，AD∥BE，

∴xD﹣xE＝xA﹣xB＝2，yE﹣yD＝yB﹣yA＝3

设直线AC解析式为：y＝ax+b

解得：

∴直线AC解析式为：

设点D坐标为（d，），

则xE＝xD﹣2＝d﹣2，yE＝yD+3＝

即点E（d﹣2，）

∵点D、E在函数y＝图象上（k＞0）

∴

解得：d＝4

∴k＝4×（×4+）＝12

②∵A（﹣，0），B（﹣，3），D（4，3）

∴AB＝，AD＝

∵AB∥DE，AD∥BE

∴四边形ABED是平行四边形

∵∠BAC＝90°

∴ABED是矩形

∴S矩形ABED＝ABAD＝

∴线段AB扫过的面积为