Question

【题目】如图，是的直径，点是上一点，点是的中点，过点作的切线，与、的延长线分别交于点、，连接．

（1）求证：；

（2）直接回答：①已知，当为何值时，？

②连接、、，当等于多少度时，四边形是菱形？

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①；②．

【解析】

（1）连接OD，由点D是弧CB的中点，过点D作⊙O的切线，可得OD⊥EF，AF∥OD，进而得出AF⊥EF；

（2）①当BE=4时，连接BC，证明△ACB∽△AFE，所以，即AC=CF；

②当∠E=30°时，证明△ODB，△AOC，△COD为等边三角形，所以OB=BD=OD=CD=OC，即四边形OBDC是菱形．

如图1，连接，

∵点是的中点，过点作的切线，

∴，，

∵,

∴，

∴，

∴,

∴．

（2）①当 时，.

如图2，连接BC，

,

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵AF⊥EF，

∴∠ACB=∠F=90°，

∴BC∥EF，

∴△ACB∽△AFE，

∴．

∴AC=CF．

②当时, 四边形是菱形.

如图3，

∵EF是过点D的⊙O的切线，

∴∠ODE=∠F=90°，

∴∠DOE=∠CAO=60°，

∵OD=OB=OC=OA，

∴△ODB，△AOC为等边三角形，

∴∠COA=∠DOB=60°，

∴∠COD=60°，

∴△COD为等边三角形，

∴OB=BD=OD=CD=OC，

∴四边形OBDC是菱形．