Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，若，

（1）求的度数。

（2）求的度数。

Answer 1

【答案】（1）∠ACB=30°；（2）∠BOE=75°；

【解析】

(1)由矩形的性质可得∠BAD=∠ABC=90°，由角平分线的定义可得∠BAE=45°，从而得∠AEB=45°，再根据三角形外角的性质即可求得答案；

(2)由矩形的性质可得AO=BO=OC，从而有∠OBC=∠OCB=30°，再证明△AOB是等边三角形，从而可得AB=OB，再根据∠BAE=∠AEB=45°，得到AB=BE，继而得BE=BO，再根据等腰三角形的性质即可求得答案.

(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠ABC=90°，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=45°，

∴∠AEB=90°-∠BAE=45°，

∵∠AEB=∠EAC+∠ACB，∠CAE=15°，

∴∠ACB=45°-15°=30°；

(2)∵四边形ABCD是矩形，

∴AO=CO=AC，BO=BD，AC=BD，

∴AO=BO=OC，

∴∠OBC=∠OCB=30°，

∵∠BAO=∠BAE+∠CAE=45°+15°=60°

∴△AOB是等边三角形，

∴AB=OB，

∵∠BAE=∠AEB=45°，

∴AB=BE，

∴BE=BO，

∴∠BOE=(180°-30°)÷2=75°.