Question

如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是其内心，且AI⊥OI．若AC=9，BC=7，则AB=

 

．

Answer 1

分析：延长AI交⊙O于D，连接OA、OD、BD和BI，作IG⊥AB于G，根据三角形内心和圆周角定理求出BD=ID=DC，根据垂径定理求出BE=CE，BG=AG，证Rt△BDE≌Rt△AIG，推出AG=BE，推出AB+AC=2BC，代入即可求出答案．

解答：解：连接OA、OD、BD和BI，

∵OA=OD，OI⊥AD
∴AI=ID，
∵I为△ABC内心，
∴∠CAD=∠CBD，
∴∠DBI=∠DBC+∠CBI=∠DAC+∠CBI，
=

1

2

（∠BAC+∠ABC），
∵∠DIB=∠DAB+∠ABI=

1

2

（∠BAC+∠ABC），
∴∠DIB=∠DBI，
∴BD=ID=AI，
∵

BD

=

DC

，
故OD⊥BC，记垂足为E，则有BE=

1

2

BC，
作IG⊥AB于G，又∠DBE=∠IAG，而BD=AI，
∴Rt△BDE≌Rt△AIG，

于是，AG=BE=

1

2

BC，但AG=

1

2

（AB+AC-BC），
故AB+AC=2BC，
∴AB=2×7-9=5，
故答案为：5．

点评：本题主要考查对垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质和判定，三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．