Question

如图：BD是矩形ABCD的对角线，E是AB延长线上的一点，且AE=BD，过A作AH⊥CE于H，交BC于G．
（1）求证：H为CE的中点；
（2）若HG•HA=10，AD：AB=3：4，求AD与AB的长．

Answer 1

（1）证明：如右图所示，连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
又∵AE=BD，
∴AC=AE，
∵AH⊥BC，
∴H是CE的中点；

（2）解：如右图所示，连接AC，
设AD=3x，AB=4x，
∵∠E+∠BCE=90°，∠ACE+∠CAH=90°，∠E=∠ACE，
∴∠GCH=∠CAH，
又∵∠AHC=∠CHG=90°，
∴△AHC∽△CHG，
∴=，
∴CH²=10，
∴EC=2，
∵AC=AE，
∴BE=4x-3x=x，
在Rt△CBE中，有（3x）²+x²=（2）²，
解得x=2，
∴AB=8，AD=6．
分析：（1）先连接AC，由于四边形ABCD是矩形，于是AC=BD，而AE=BD，那么AC=AE，而AH⊥BC，利用等腰三角形三线合一定理可证H是BC的中点；
（2）先设AB=4x，AD=3x，由于∠E+∠BCE=90°，∠ACE+∠CAH=90°，∠E=∠ACE，易求∠GCH=∠CAH，而∠AHC=∠CHG=90°，从而可证△AHC∽△CHG，利用比例线段可求CH，进而可求BC，易知BE=x，在Rt△CBE中，有（3x）²+x²=（2）²，可求x，从而易求AB、AD．
点评：本题考查了矩形的性质、等腰三角形三线合一定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是连接AC，并证明△AHC∽△CHG．