Question

14．已知正方形ABCD中，过点C作直线CE，使CE∥BD；以BD为一边作?BDMN，且顶点M，N均在直线CE上，给出下列结论：
①S_{平行四边形BDMN}=S_{正方形ABCD}；②当四边形BDMN菱形时，∠NBC=15°或165°．则下列说法正确的是（　　）

• A． ①②都对
• B． ①②都错
• C． ①对②错
• D． ①错②对

Answer 1

分析 连接DN，如图，利用三角形面积公式得到S_△BDN=S_△BDC，再根据正方形和平行四边形的性质得S_{正方形ABCD}=2S_△BDC，S_{平行四边形BDMN}=2S_△BDN，则可对①进行判断；连接AC交BD于O，作BH⊥CE于H点，如图，利用正方形的性质得AC⊥BD，BO=OC=OD，∠CBD=45°，易得四边形OCHB为正方形，所以BD=2BH，接着利用菱形的性质得BN=2BH，所以∠BNH=30°，从而得到∠NBC=45°-30°=15°，当M、N都在C点的另一侧时，同样可得∠BNH=30°，此时∠NBC=105°，于是可对②进行判断．

解答 解：连接DN，如图，
∵BD∥CE，
∴S_△BDN=S_△BDC，
∵四边形ABCD为正方形，四边形BDMN为平行四边形，
∴S_{正方形ABCD}=2S_△BDC，S_{平行四边形BDMN}=2S_△BDN，
∴S_{平行四边形BDMN}=S_{正方形ABCD}，所以①正确；
连接AC交BD于O，作BH⊥CE于H点，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，BO=OC=OD，∠CBD=45°，
∵BD∥CE，
∴OC⊥CE，
∴四边形OCHB为正方形，
∴BO=BH，
∴BD=2BH，
∵四边形BDMN为菱形，
∴BD=BN，
在Rt△BHN中，∵sin∠BNH=$\frac{BH}{BN}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠BNH=30°，
∵BD∥CE，
∴∠DBN=∠BNH=30°，
∴∠NBC=45°-30°=15°，
当M、N都在C点的另一侧时，同样可得∠BNH=30°，此时∠NBC=105°，
即∠NBC=15°或105°，所以②错误．
故选C．

点评 本题考查了正方形的判定：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角．也考查了平行四边形和菱形的性质．