Question

10．抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B，C的坐标分别为（4，0）和（0，4），抛物线的对称轴为x=1，直线AD交抛物线于点D（2，m）．
（1）求抛物线和直线AD的解析式；
（2）如图Ⅰ，点Q是线段AB上一动点，过点Q作QE∥AD，交BD于点E，连接DQ，求△QED面积的最大值；
（3）如图Ⅱ，直线AD交y轴于点F，点M，N分别是抛物线对称轴和抛物线上的点，若以C，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）待定系数法得到抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；直线AD的解析式为y=x+2；
（2）如图1，作EG⊥x轴，设Q（m，0），根据相似三角形的性质得到EG=$\frac{8-2m}{3}$，求得S_△QDE=S_△BDQ-S_△BEQ=$\frac{1}{2}$×（4-m）×4-$\frac{1}{2}×$（4-m）×$\frac{8-2m}{3}$=-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m+$\frac{8}{3}$=-$\frac{1}{3}$（m-1）²+3，根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）①如图2，若CF为平行四边形的一边，则点N于抛物线的顶点重合，于是得到点M的坐标（1，$\frac{5}{2}$），（1，$\frac{13}{2}$）；②如图3，若CF为平行四边形的一条对角线，则CF与MN互相平分，过点M，N分别向x轴作垂线，垂足分别为H，K，MN与HK交于点P，即可得到结论．

解答 解：（1）根据题意得，$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+4=0}\\{-\frac{b}{2a}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；
∵B（4，0），对称轴为x=1，
∴A（-2，0），
∵D（2，m）在抛物线的解析式y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4上，
∴D（2，4），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{2k+b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为y=x+2；

（2）如图1，作EG⊥x轴，设Q（m，0），
∵QE∥AD，
∴△BEQ∽△BDA，
∴$\frac{BQ}{BA}=\frac{EG}{4}$，
即$\frac{4-m}{6}=\frac{EG}{4}$，
解得：EG=$\frac{8-2m}{3}$，
∴S_△BEQ=$\frac{1}{2}$×（4-m）×$\frac{8-2m}{3}$，
∴S_△QDE=S_△BDQ-S_△BEQ=$\frac{1}{2}$×（4-m）×4-$\frac{1}{2}×$（4-m）×$\frac{8-2m}{3}$=-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m+$\frac{8}{3}$=-$\frac{1}{3}$（m-1）²+3，
∴△QED面积的最大值是3；

（3）∵直线AD交y轴于点F，
∴F（0，2），
∵抛物线的顶点坐标（1，$\frac{9}{2}$），
①如图2，若CF为平行四边形的一边，则点N于抛物线的顶点重合，此时，MN=CF=2，
∴点M的坐标（1，$\frac{5}{2}$），（1，$\frac{13}{2}$）；
②如图3，若CF为平行四边形的一条对角线，则CF与MN互相平分，
过点M，N分别向x轴作垂线，垂足分别为H，K，MN与HK交于点P，
易得△MHP≌△NKP，
∴点M，N的横坐标分别是1，-1，
∴N（-1，$\frac{5}{2}$），
∴PK=$\frac{1}{2}$=HP，
∴HO=$\frac{7}{2}$，
∴M（1，$\frac{7}{2}$），
综上所述，点M的坐标为：（1，$\frac{5}{2}$）或（1，$\frac{13}{2}$）或（1，$\frac{7}{2}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．