Question

19．当x≤3时，函数y=x²-2x-3的图象记为G，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保持不变，得到一个新图象M，若直线y=x+b与图象M有且只有两个公共点，则b的取值范围是-3＜b＜1或b=-$\frac{21}{4}$．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，进而利用直线y=x+b过（-1，0）以及（3，0）得出b的值，再利用直线y=x+b与抛物线y=x²-2x-3有一个交点，求出答案．

解答 解：如图所示：∵y=x²-2x-3，当y=0，则0=x²-2x-3，
解得：x₁=-1，x₂=3，
当直线y=x+b过（-1，0）时，b=1，
当直线y=x+b过（3，0）时，b=-3，
故当-3＜b＜1时，直线y=x+b与图象M有且只有两个公共点，
当直线y=x+b与抛物线y=x²-2x-3有一个交点，
则x²-3x-3-b=0有两个相等的实数根，
故△=b²-4ac=9+4（3+b）=0，
解得：b=-$\frac{21}{4}$，
综上所述：直线y=x+b与图象M有且只有两个公共点，则b的取值范是：-3＜b＜1或b=-$\frac{21}{4}$．
故答案为：-3＜b＜1或b=-$\frac{21}{4}$．

点评 此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确利用数形结合分析是解题关键．