Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为边BC上一点，E为边AB的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连结BF．

（1）求证：四边形ADBF是平行四边形；

（2）当D为边BC的中点，且BC＝2AC时，求证：四边形ACDF为正方形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）根据平行线的性质得到∠AFE=∠BDE，根据全等三角形的性质得到AF=BD，于是得到结论；

（2）首先证明四边形ACDF是矩形，再证明CA=CD即可解决问题；

（1）证明：∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠BDE，

在△AEF与△BED中，

，

∴△AEF≌△BED，

∴AF＝BD，

∵AF∥BD，

∴四边形ADBF是平行四边形；

（2）解：∵CD＝DB，AE＝BE，

∴DE∥AC，

∴∠FDB＝∠C＝90°，

∵AF∥BC，

∴∠AFD＝∠FDB＝90°，

∴∠C＝∠CDF＝∠AFD＝90°，

∴四边形ACDF是矩形，

∵BC＝2AC，CD＝BD，

∴CA＝CD，

∴四边形ACDF是正方形．