Question

13．以△ABC的边BC为一边向三角形外侧作正方形BDEC，连结AD、AE分别交BC于点F、G，过点F、G分别作BC的垂线交AB、AC于点H、K，试判断四边形HFGK的形状．

Answer 1

分析 由BD⊥BC，HF⊥BC，得到HF∥BD，根据平行线分线段成比例得到$\frac{AH}{AB}=\frac{AF}{AD}$，同理：$\frac{AK}{AC}=\frac{AG}{AE}$，根据BC∥DE，于是得到$\frac{AF}{AD}=\frac{AG}{AE}$，即$\frac{AH}{AB}=\frac{AK}{AC}$，证得四边形HFGK是矩形，由于$\frac{HF}{BD}=\frac{AH}{AB}$，$\frac{HK}{BC}=\frac{AH}{AB}$，于是得到$\frac{FH}{BD}=\frac{HK}{BC}$，求得HK=FH，即可得到结论．

解答 解：四边形HFGK是正方形，
理由：BD⊥BC，HF⊥BC，
∴HF∥BD，
∴$\frac{AH}{AB}=\frac{AF}{AD}$，
同理：$\frac{AK}{AC}=\frac{AG}{AE}$，
∵四边形BDEC是正方形，
∴BC∥DE，
∴$\frac{AF}{AD}=\frac{AG}{AE}$，
∴$\frac{AH}{AB}=\frac{AK}{AC}$，
∴HK∥BC，则HK∥FG，
又∵HF⊥BC，KG⊥BC，
∴HF∥KG，
∴四边形HFGK是矩形，
∵$\frac{HF}{BD}=\frac{AH}{AB}$，$\frac{HK}{BC}=\frac{AH}{AB}$，
∴$\frac{FH}{BD}=\frac{HK}{BC}$，
∵BD=BC，
∴HK=FH，
∴四边形HFGK是正方形．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．