Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y₁=x²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B、C两点．
（1）求直线BC解析式y₂及抛物线的解析式；
（2）求x满足什么条件时，y₁＜y₂；
（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件点P的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意设直线BC的解析式为y=kx+3，把B点坐标代入解析式求出直线BC的表达式，然后又已知抛物线y=x²+bx+c过点B，C，代入求出解析式．
（2）画出图象，找到y₁在y₂下面时，x的取值范围即可，也可联立y₁、y₂的解析式，运用不等式求解．
（3）分两种情况讨论，①当PQ∥AB时，此时根据PQ=AB=2，可得出点P的横坐标，代入即可得出点P的坐标；②②当P、Q为对角顶点时，作PD⊥x轴于D点，此时根据AD=OB可求出点P的横坐标为4，继而代入可得出点P的纵坐标．
解答：解：（1）由题意得：直线BC为y₂=kx+3，把B（3，0）代入得：3k+3=0，
解得：k=-1，
故直线BC的解析式为y=-x+3，
从而可得点C坐标为（0，3），
把B、C两点代入y₁=x²+bx+c得，
解得：，
故抛物线的解析式为y₁=x²-4x+3．
（2）由图可知：当0＜x＜3时，y₁＜y₂．

（3）①当PQ∥AB时，

则PQ=AB=2，
从而可得点P的横坐标为2或-2，
当x=2时，y=-1；
当x=-2时，y=15，
故P₁为（2，-1），P₂为（-2，15），
②当P、Q为对角顶点时，作PD⊥x轴于D点，

则有OB=BQ×cos∠QBO，AD=APcos∠PAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AP=BQ，∠QBO=∠PAD，
∴AD=OB=3，
则可得点P的横坐标为4，当x=4时，y=3，
所以P₃为（4，3）．
综上可得符合题意的点P的坐标有三个：P₁（2，-1），P₂（-2，15），P₃（4，3）．
点评：此题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质，难点在第三问，需要分类讨论，不要漏解．