Question

（2011•西藏）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点C，E是⊙O上的一点，并且
∠BEC=45°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5cm，求阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

分析：（1）连接OC．欲证CD是⊙O的切线，只需证明OC⊥CD即可；
（2）S_阴影=S_{平行四边形ABCD}-S_△BOC-S_扇形AOC．

解答：（1）证明：如图所示：连接OC．
∵∠BEC=45°（已知），
∴∠BOC=2∠BEC=90°（在同圆中，同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴OC⊥AB．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD（平行四边形的对边互相平行），
∴OC⊥CD．
∵点C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴AB=CD（平行四边形的对边相等）．
又∵⊙O的半径是5，
∴AB=10．
∵OC⊥AB，
∴S_{平行四边形ABCD}=AB•OC=10×5=50，
S_△BOC=

1

2

OB•OC=

25

2

，
S_扇形AOC=

90π×52

360

=

25π

4

，
则S_阴影=S_{平行四边形ABCD}-S_△BOC-S_扇形AOC=

150-25π

4

．

点评：本题考查了切线的判定，扇形、三角形的面积，平行四边形性质的应用．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．