Question

如图，在直角坐标平面内，0为原点，点C，D的坐标分别为（0，4），（m，n），OD=5，且m，n满足|m+n-7|+

m-n+1

=0．
（1）直接写出点D的坐标：

 

；
（2）若以C，0，D为顶点的三角形与以C，0，A为顶点的三角形全等，直接写出点A的坐标：

 

；
（3）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：几何图形问题,分类讨论

分析：（1）根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后写出点D的坐标即可；
（2）分∠ACO=∠DCO，∠AOC=∠DCO两种情况，利用全等三角形对应边相等作出图形讨论求解即可；
（3）分OP=OD，OD=PD，OP=PD三种情况讨论求解．

解答：解：（1）由非负数的性质得

m+n-7=0 m-n+1=0

，
解得

m=3 n=4

．
所以点D的坐标为（3，4）；

（2）如图，∠ACO=∠DCO=90°时，AC=CD=3，
点A₁（-3，4），
∠AOC=∠DCO时，AO=CD，
点A₂（-3，0）、A₃（3，0），
综上所述，以C，0，D为顶点的三角形与以C，0，A为顶点的三角形全等时，点A的坐标为（-3，4）或（-3，0）或（3，0）；
故答案为：（1）（3，4）；（2）（-3，4）或（-3，0）或（3，0）；


（3）OP=OD时，点P₁（5，0），
OD=PD时，由等腰三角形三线合一的性质，OP=2×3=6，
点P₂（6，0），
OP=PD时，OP=

1

2

OD÷cos∠DOP=

1

2

×5÷

3

5

=

25

6

，
∴点P（

25

6

，0），
综上所述，x正半轴上点P（5，0）或（6，0）或（

25

6

，0）．

点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了非负数的性质，全等三角形对应边相等的性质，等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．