Question

如图1，A（0，4）、B（-2，0）、C（2，0），CM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N．

（1）求证：CM+CN=AB；
（2）如图2，过O点作直线EF交AC于E，BF与AC相交于P点，若AE+BF=AB，问PE与PF存在怎样关系并证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质

专题：证明题

分析：（1）易证∠ABC=∠AON，可证△AON≌△CMB，可得CM=AN，即可解题；
（2）作CG∥BP交EF于点G，可以证明△BOF≌△COG，可证明∠CEG=∠PFE，得PF=PE．

解答：解：（1）∵∠AON+∠CON=90°，∠CON+∠ACB=90°，
∴∠AON=∠ACB，
∵A在BC的垂直平分线上，
∴AB=AC，．
∴∠ABC=∠ACB=∠AON，
在△AON和△CMB中，

∠CMB=∠ANO=90° ∠ABC=∠AON BC=NA

，
∴△AON≌△CMB（AAS），
∴CM=AN，
∴AB=AC=AN+CN=CM+CN．
（2）作CG∥BP交EF于点G，

∵AE+BF=AB，
∴BF=EC，
在△BOF和△COG中，

∠OBF=∠OCG BO=OC ∠BOF=∠COG

，
∴△BOF≌△COG（ASA），
∴BF=CG，
∴CG=CE，∠CEG=∠CGE，
∵BP∥GC，
∴∠CGE=∠PFE，
∵∠CEG=∠PFE，
∴PF=PE．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中作辅助线CG求证CG=CE是解题的关键．