Question

6．在△ABC中，

（1）如图1，BP为△ABC的角平分线，PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，AB=50，BC=60请补全图形，并直接写出△ABP与△BPC面积的比值；
（2）如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和ACE，CD与BE 相交于点O，求证：BE=CD；
（3）在（2）的条件下判断∠AOD与∠AOE的数量关系．（不需证明）

Answer 1

分析 （1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM=PN，再根据三角形的面积公式列式求解即可；
（2）根据等边三角形的性质可得AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，再求出∠DAC=∠BAE，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADC全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（3）过点A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，根据△DAC≌△BAE，可知它们的面积相等，即可推出AM=AN，逆用角平分线的性质定理，可得AO平分∠DOE．

解答 解：（1）如图1，作PN⊥BC于N，
又∵BP为△ABC的角平分线，PM⊥AB于M，
∴PM=PN，
∴S_△ABP：S_△BPC=（$\frac{1}{2}$AB•PM）：（$\frac{1}{2}$BC•PN）=AB：BC，
∵AB=50，BC=60，
∴△ABP与△BPC面积的比值为$\frac{5}{6}$；

（2）证明：如图2，∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=CD；

（3）∠AOD与∠AOE的数量关系为：∠AOD=∠AOE．
理由：如图，过点A作AM⊥DC于M，作AN⊥BE于N，
由（2）可得，△DAC≌△BAE，且DC=BE，
∴S_△DAC=S_△BAE，
即$\frac{1}{2}$×CD×AM=$\frac{1}{2}$×BE×AN，
∴AM=AN，
∴点A在∠DOE的角平分线上，
∴∠AOD=∠AOE．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等边三角形的性质的综合应用．解题时注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等，运用其逆定理是解决问题的关键．