Question

7．已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁≠x₂）两点，直线y=$\sqrt{3}$x+m经过点A．若关于x的方程ax²+（b+$\sqrt{3}$）x+c+m=0有两个相等的实数根，则a（x₁-x₂）=$±\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 直线y=$\sqrt{3}$x+m经过点A（x₁，0），可得x₁=-$\frac{m}{\sqrt{3}}$，由x₁是方程ax²+bx+c=0的根，也是方程$\sqrt{3}$x+m=0的根，推出x₁是方程ax²+（b+$\sqrt{3}$）x+c+m=0的根，由关于x的方程ax²+（b+$\sqrt{3}$）x+c+m=0有两个相等的实数根，推出方程可以变形为a（x+$\frac{m}{\sqrt{3}}$）²=0，展开得到ax²+$\frac{2am}{\sqrt{3}}$x+$\frac{a{m}^{2}}{3}$=0，推出b=$\frac{2am}{\sqrt{3}}$-$\sqrt{3}$，c=$\frac{a{m}^{2}}{3}$-m，推出a（x₁-x₂）=±$\sqrt{{a}^{2}[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=±$\sqrt{{b}^{2}-4ac}$，代入计算即可．

解答 解：直线y=$\sqrt{3}$x+m经过点A（x₁，0），
∴x₁=-$\frac{m}{\sqrt{3}}$，
∵x₁是方程ax²+bx+c=0的根，也是方程$\sqrt{3}$x+m=0的根，
∴x₁是方程ax²+（b+$\sqrt{3}$）x+c+m=0的根，
∵关于x的方程ax²+（b+$\sqrt{3}$）x+c+m=0有两个相等的实数根，
∴方程可以变形为a（x+$\frac{m}{\sqrt{3}}$）²=0，展开得到ax²+$\frac{2am}{\sqrt{3}}$x+$\frac{a{m}^{2}}{3}$=0，
∴b=$\frac{2am}{\sqrt{3}}$-$\sqrt{3}$，c=$\frac{a{m}^{2}}{3}$-m，
∵a（x₁-x₂）=±$\sqrt{{a}^{2}[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=±$\sqrt{{b}^{2}-4ac}$=±$\sqrt{（\frac{2am}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}）^{2}-4a•（\frac{a{m}^{2}}{3}-m）}$=±$\sqrt{3}$，
故答案为±$\sqrt{3}$．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点坐标、根的判别式、一次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．