Question

如图所示，M、N是⊙O上的两点，连接AM、NA，B、E是、的中点，若的度数为120°．求证：△ACD是正三角形．

Answer 1

答案：略
解析：

证明：连接AB、AE． ∵B、E是、的中点，∴=，=． ∴∠EAC=∠E，∠B=∠DAE．即∠B＋∠BAC=∠E＋∠DAE． ∴∠ACD=∠ADE． 又的度数为120°，∴∠CAD=60°． ∴△CAD是等边三角形．

提示：

要证△ACD是正三角形，由正三角形的判定方法可以直接证三边相等或先证是等腰三角形，再证有一个内角为60°．因∠CAD所对的弧的度数为120°，则可知∠CAD=60°，所以只要证AC=AD即可．欲证AC=AD，则要证∠ACD=∠ADC．因这两个角不是圆周角，要转化为圆周角．考虑到B、E是、的中点，故应有等角．所以可以连接AB、AE构造等角．